Top 36 수학 공부 다시 하기 The 216 Detailed Answer

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독학으로 수학 공부 하는법

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대학 공부 또는 일을 위해 수학 공부를 다시 시작하는 분들께 | Hav fuN with Math

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• Summary of article content: Articles about 대학 공부 또는 일을 위해 수학 공부를 다시 시작하는 분들께 | Hav fuN with Math (1) 무엇을 준비하기 위함인가, 즉 목표가 무엇인가: 대학생들의 경우, 공업 수학이나 통계 쪽의 공부가 필요한 경우가 많고, 일을 위해서 필요한 … …
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수학 공부 다시 하기

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• Summary of article content: Articles about 수학 공부 다시 하기 제 수학실력이 구제불능 쓰레기라는것을 깨달았습니다고1수학부터 … [일반] 수학공부 처음부터 다시 시작하는 고딩인데요 … 개념글 추천하기. …
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수학 공부 다시 하기

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• Summary of article content: Articles about 수학 공부 다시 하기 ㅠ 시그마, 인테그랄 이렇게 부르는 기호가 있었다는건 기억이 나는데.. 그냥 중학교 수학부터 해야할까요? 아님 일반인이 시작하기에 괜찮은 인강 … …
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수학 공부 다시 하기

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[개념 잡는 공부법] 수학 6→1등급으로 점프, 나도 할 수 있다! < 학습코칭 < 학습정보 < 기사본문 - 에듀진 인터넷 교육신문

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• Most searched keywords: Whether you are looking for [개념 잡는 공부법] 수학 6→1등급으로 점프, 나도 할 수 있다! < 학습코칭 < 학습정보 < 기사본문 - 에듀진 인터넷 교육신문 학생은 방학 동안 마음을 굳게 다잡고 이후 10개월간을 수학 공부에 매진 ... 이 공부법을 꾸준히 실천하기만 한다면 누구나 수능 수학에서 역전을 ... 고등학교 2학년 겨울방학 때까지만 해도 수학 성적이 6등급대에 머물던 학생이 있었다. 학생은 방학 동안 마음을 굳게 다잡고 이후 10개월간을 수학 공부에 매진했다. 그 결과 수능에서 당당히 수학 1등급을 받을 수 있었다. 2022 대입에서 실제로 있었던 일이다.학생이 수학에서 5계단을 뛰어오를 수 있었던 것은 모두가 특별한 공부법 덕분이었다. 지금 소개할 '개념 잡는 공부법'이 그것이다. 이 공부법을 꾸준히 실천하기만 한다면 누구나 수능 수학에서 역전을 이룰 수 있다. 의심하지 말고 당장 시작해 보자. 여러분도 역전의 주인공이 될
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다시 고등 수학(원서/번역서: [해외]ふたたびの高校數學 大人のための再入門&再發見) | 나가노 히로유키 | 길벗 – 교보문고

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• Summary of article content: Articles about 다시 고등 수학(원서/번역서: [해외]ふたたびの高校數學 大人のための再入門&再發見) | 나가노 히로유키 | 길벗 – 교보문고 공부해야지 생각만 하다 그 많은 범위의 수학 개념을 다시 공부하기 싫어서 미뤄두다가 딱 나를 위한 책을 발견해서 읽어보았다. 가볍게 수학 개념을 정리할 수 있어서 … …
• Most searched keywords: Whether you are looking for 다시 고등 수학(원서/번역서: [해외]ふたたびの高校數學 大人のための再入門&再發見) | 나가노 히로유키 | 길벗 – 교보문고 공부해야지 생각만 하다 그 많은 범위의 수학 개념을 다시 공부하기 싫어서 미뤄두다가 딱 나를 위한 책을 발견해서 읽어보았다. 가볍게 수학 개념을 정리할 수 있어서 … 프로그래머, 수학의 뇌를 깨워라! | 인공지능, 데이터 분석, 경제학, 게임 등 이미 수학은 우리 생활과 밀접하게 연관되어 있다. 이제 수학은 선택이 아닌 필수 과목이 되어 가고 있어 어느 정도 소양을 갖출 필요성을 느끼지만, 지난 문제집이나 이론서를 들춰보자니 두렵거나 부담스러운 것이 사실이다. 이 …다시 고등 수학, 나가노 히로유키, 길벗, 9791165218188
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대학 공부 또는 일을 위해 수학 공부를 다시 시작하는 분들께

고등학교 때 이과를 가지 않았거나 이과로 졸업했더라도 수학을 못했기 때문에 대학 전공 공부에 차질이 있거나 회사에서 요구하는 것을 따라가는데 어려움이 있는 분들의 글을 종종 접합니다. 그때마다 대충 알 수 있는 상황에 맞춰 조언을 해드리곤 했는데, 아예 블로그에 글로 남겨볼까 합니다.

일단 파악해야 할 것들은 (1) 무엇(목표)을 준비하기 위함인가, (2) 수학의 어느 과정부터 시작할 수 있는가, (3) 어떤 도움이 필요한가 정도로 요약해 볼 수 있습니다.

(1) 무엇을 준비하기 위함인가, 즉 목표가 무엇인가: 대학생들의 경우, 공업 수학이나 통계 쪽의 공부가 필요한 경우가 많고, 일을 위해서 필요한 경우, 좀 더 다양한 것 같습니다. 게임 프로그래밍이나 통계 쪽에서 요구되는 경우가 흔히 보이긴 합니다.

궁극적으로 어떤 공부를 해야 할지 알았다면, 이것을 통해 그 것 이전에 어떤 것들을 공부해야 할지 알아낼 수 있기 때문에 구체적인 정보가 필요합니다. 대학 수업을 위한 것이라면 그 과정의 수업 계획과 함께 그 수업에서 사용할 교재를 찾아보면 어떤 지식들이 선행되어야 할 지 알 수 있습니다. 회사의 일을 위한 것이라면 회사의 선배나 상사를 통해 그 업계에서 흔히 사용되는 교재를 알아내면 됩니다.

구체적인 정보를 알아냈다면 이것을 통해 필요한 선행 지식이 무엇인지 알아내야 하는데, 이것은 그 부분까지의 수학을 잘 아는 사람에게 질문을 할 수 밖에 없겠습니다.

(2) 수학의 어느 과정부터 시작할 수 있는가, 즉 당사자의 선험 지식은 어느 정도인가: 스스로 자신이 어느 정도까지 잘하는지 알고 있다면 그 이후부터 시작하면 되겠습니다만, 그렇지 않다면 고등학교 1학년에서 시작을 해봅니다. 그 이유는 고등학교 1학년은 중학교 수학을 완전히 정리, 심화하는 과정이라 중학 과정에서 모르는 것이 있어도 여기서 역추적하면 될테니까요. 만약 누군가의 도움을 받는 다면 상담을 통해 이 부분을 해결하면 될 것 같습니다.

(3) 어떤 도움이 필요한가: 이런 상황에서는 독학이나 과외를 결정하는 경우가 대부분입니다. 수학 공부를 어떻게 해야 하고, 계획은 어떻게 세우는 것이 적절하며, 어떤 선행 지식이 필요한지를 알고 있다면 독학을 해도 좋습니다. 하지만 수학 공부를 제대로 해본 적이 없어서 수학을 어떻게 공부해야 할지도 모르겠다면 어느 정도의 도움을 받는 것이 더 나을 수도 있습니다.

자신의 수학 공부 방법이 독학을 해도 될 정도인지 대략 가늠해 보려면 이 방법을 써도 괜찮습니다. 적당해 보이는 내용 공부용(내신이나 수능 준비가 목표가 아니므로 문제풀이용 문제집은 필요 없음) 교재를 구입하고, (1)번에서 찾아낸 ‘필요한 선행 지식’ 부분 중 가장 처음 부분(양은 한 챕터에서 반 챕터 정도가 적당할 듯)을 택해서 내용 공부를 합니다. 그리고 나서 예제 문제(힌트와 자세한 풀이가 문제의 바로 아래에 딸려오는 그 챕터의 대표 문제들) 부분만 모아서 힌트나 내용 설명 부분을 전혀 보지 않고, 온전히 혼자만의 힘으로 8~90% 정도 풀어낼 수 있으면 독학해도 충분합니다. (혹 이 챕터 내용만 잘 아는 것 같다 싶으면 다른 챕터도 비슷한 방법으로 해보셔도 좋지만, 그럴 확률은 굉장히 낮으리라 생각됩니다.)

과외라든가 누군가의 도움을 받기로 했다면, 그것은 어디까지나 도움일 뿐이고 공부는 스스로 해야 함을 알고 시작해야 합니다. 이게 명확할 것 같은데도, 현실에서는 또 그렇지가 않은 것 같더라구요. 성인이라면 학생 때 공부를 잘하는 학생과 못하는 학생의 많은 차이 중에서 중요한 한가지는 적극성에 있다는 것을 알아야 합니다. 많은 학생들이 학원이나 선생이 알아서 해주겠지 하는 마음으로 수업을 받지만, 그런 학생들은 ‘들러리’로 불리는 상황에서 벗어나지 못한다는 현실을 말이죠.

선생님이 달라 붙어서 모든 것을 친절하게 설명해주고 당사자는 “음.. 잘 설명하고 있군.”이라는 자세로 있으면 수학 공부는 할 수 없습니다. 기본적인 공부는 어떻게 해서든 스스로 하고 그래도 어려움을 겪는 부분에서 도움을 얻는다고 생각해야 합니다.

대부분의 사람들이라면, 위의 예제 문제 풀어보기에서 50%는 커녕 한두개 맞기도 어려울 것입니다. 수학 교재를 어떻게 읽고 내용을 이해한다는 것이 무엇인지도 모르는 상태인 것이죠. 그렇다면 기본적인 공부를 어떻게 해야 할까요? 먼저 ‘공부를 하는 방법’, 즉, 교재를 읽고 내용을 이해하는 기술에 대해 도움을 얻어야 합니다. 공부를 잘하는 학생들의 상당수는 중고등학교 시절 이 방법 또는 기술을 터득합니다. 나머지는 아무도 가르쳐주지 않기 때문에 모르는 상태에서 졸업하므로, 새로운 공부를 할 때에도 어려움을 겪게 됩니다. 특히 수학이나 수학을 언어로 사용하는 학문들처럼 고도로 추상적인 학문은 이러한 영향이 훨씬 더 큽니다.

개인 과외에서 도움 받을 것: 공부하는 방법/기술 훈련, (1)번의 앞으로 공부해야 할 내용 확인, (2)번의 현 상황 파악, 앞의 두 가지를 이용하여 공부에 필요한 계획을 세울 때 가능한 계획인지 확인. 이러한 네 가지 사안에 대해 미리 이야기를 하고 들어가는 것이 좋습니다. 처음 두 가지는 모든 고등 수학 과외를 하는 사람이 다 가능한 것이 아닐 수도 있기 때문이고, 또 서로 어떤 기대를 하고 수업을 시작하는지 알 수 있기 때문입니다.

[개념 잡는 공부법] 수학 6→1등급으로 점프, 나도 할 수 있다!

고등학교 2학년 겨울방학 때까지만 해도 수학 성적이 6등급대에 머물던 학생이 있었다. 학생은 방학 동안 마음을 굳게 다잡고 이후 10개월간을 수학 공부에 매진했다. 그 결과 수능에서 당당히 수학 1등급을 받을 수 있었다. 2022 대입에서 실제로 있었던 일이다.

학생이 수학에서 5계단을 뛰어오를 수 있었던 것은 모두가 특별한 공부법 덕분이었다. 지금 소개할 ‘개념 잡는 공부법’이 그것이다. 이 공부법을 꾸준히 실천하기만 한다면 누구나 수능 수학에서 역전을 이룰 수 있다. 의심하지 말고 당장 시작해 보자. 여러분도 역전의 주인공이 될 수 있다.

[ 개념 잡는 공부법 ]

1단계: 수업 듣기

학원이나 인강 수업에서 배운 수학 개념을 일주일 뒤에야 다시 본다면, 기억하는 학생들이 몇이나 될까? 대다수 학생들은 기억이 나지 않을 것이다. 수학 성적이 낮은 학생들 대부분이 이런 공부 습관을 가지고 있을 가능성이 높다. 이렇게 공부해서는 성적이 잘 나올 수 없다. 먼저 수업을 집중해서 듣고 2단계로 넘어가자. 지금부터 공부 습관을 완전히 바꿔보는 것이다.

2단계: 개념 정독하기

수업에서 배운 개념을 쉽게 설명해주는 책을 1회 정독한다. 예를 들어 다항식을 배웠다면 개념서의 다항식 부분을 집중해서 읽어보는 것이다.

3단계: 개념노트 만들기

3단계부터가 중요하다. 개념서 1회독을 한 다음, 책을 보지 않고 방금 읽은 개념을 노트에 써보자. 이 때 주의할 점이 있다. 책에서 본 내용 그대로 기술하는 것이 아니라 스토리텔링식으로 서술하는 것이다. 이 개념은 왜 이런 원리인지, 이 원리가 무엇인지에 대해 다른 사람에게 설명하는 식으로 작성하면 된다.

4단계: 책을 보지 않고 설명하기

이제는 책이나 개념노트를 보지 말고 그날 배웠던 내용을 친구에게 설명하는 식으로 A4 용지에 적어보자. 쉽다고 건너뛰거나, 안다고 그냥 넘어가선 안 된다. 책을 안 보고도 다른 사람에게 설명할 수 있어야 한다. 기록을 마친 뒤에는 기록한 내용만 보고도 설명이 가능한지 확인해보자. 설명이 힘들다면 3단계와 4단계를 반복해 학습해야 한다. 그래야만 개념을 확실히 잡을 수 있다.

많은 학생들이 “개념은 아는데 문제를 못 풀겠어요.”라고 말한다. 이런 학생들에게 개념을 설명해 보라고 하면 백이면 백 모두가 잘 설명하지 못한다. 안다고 생각하지만, 사실은 대충 알고 있는 것이다. 설명하지 못하는 것은 아는 것이 아니다. 결국 개념을 몰라서 문제를 못 푸는 것이다. 개념을 아는데 문제를 못 푸는 일은 결코 일어나지 않는다.

5단계: 누적식 복습

개념노트를 만들게 되면 하루하루 양이 늘 것이다. 5단계는 앞서 써둔 개념노트 챕터를 전부 복습하는 것이다. 첫날부터 써뒀던 것을 매일 보는 것만으로도 반복 학습 효과가 있다. 시간이 지날수록 더 빨리 이해하고 페이지를 빠르게 넘기게 될 것이다. 그런 다음 오늘 새로 공부한 개념을 3~4단계에 맞춰 쓰고 설명해 보자. 여기까지 매일 반복해 간다면 개념을 몰라 문제를 풀지 못하는 일은 결코 생기지 않는다.

[ 개념 잡는 문제풀이법 ]

자신의 문제풀이 순서를 떠올려 보자. 대부분이 문제를 풀고 답을 맞춰본 다음, 틀린 문제를 잡고 잠깐 고민하다가 답지와 해설을 참고해 정답을 알아간다. 이렇게 공부한 학생들은 대부분 틀린 문제를 또 틀린다. 그러면서도 마지막 문제까지 풀고 나면 문제집 한 권을 끝냈다고 뿌듯해 하며 새 문제집을 사온다. 그리고 똑같은 행동을 반복한다.

문제집을 다 끝냈다지만 다시 풀어보면 여지없이 또 틀린다. 이것은 제대로 된 공부법이라고 할 수 없다. 이런 상황을 극복하고 싶은가? 그렇다면 개념 잡는 문제풀이법 6단계를 제대로 배우고 익혀보자.

1단계: 실전처럼 풀기

첫 번째 단계는 어떤 도움도 받지 않고 실전처럼 스스로 문제를 푸는 것이다. 예를 들어 다항식 문제를 푼다고 하면, 다항식에 대한 개념을 끝내놓은 상태에서 그냥 문제를 풀어라. 1번 풀고, 2번 풀고, 3번을 계속해서 풀어라. 푸는 도중 모르는 문제가 나와도 개념서를 다시 뒤지지 말고 계속 문제를 푸는 것이다.

2단계: 채점 하지 말고 근거 달기

문제를 다 푼 다음 채점하지 말라. 대신 답이 나오게 된 근거를 문제 옆에 써보라. 왜 여기에서 루트를 씌웠는지, 왜 여기서 양변에 제곱을 했는지, 지금 여기서 왜 인수분해를 했는지 그 이유를 달아보는 것이다. 내가 왜 여기서 이러한 풀이를 했는지에 대한 근거를 하나하나 다 다는 것이 중요하다. 풀이는 개념을 근거로 해야 한다. 그 근거가 틀렸다면 개념을 제대로 모른다는 뜻이다.

수포자가 되는 이유가 뭘까? 수학적 사고력이 떨어지기 때문이다. 수학적 사고력이 떨어지는 이유는 문제를 생각 없이, 기계적으로 풀어 왔기 때문이다. 하지만 근거 달기 연습을 반복하면 수학적 사고력이 급성장하게 된다. 탄탄한 개념으로 무장하고 차츰 어려운 문제까지 풀 수 있는 힘이 생긴다. 이 두 번째 단계가 정말 중요하다.

3단계: 채점하기

3단계는 채점하기이다. 채점할 때는 보통 틀린 문제나 몰랐던 문제만을 체크하게 된다. 하지만 맞았는데도 아리송한 문제가 있다면 이 문제도 절대 빼먹지 말고 체크해야 한다. 푸는 데 시간이 오래 걸렸던 문제 역시 체크해야 한다.

4단계: 고치기, 틀린 이유 코멘트 달기

3단계에서 체크한 문제 중에 몰라서 틀린 문제는 10분 정도 고민을 하고 다시 풀어보자. 이때가 2단계에서 말한 수학적 사고력이 성장하는 시간이다. 만약 고쳐서 맞았다면 아까는 왜 틀렸는지, 어디서 왜 계산 실수가 나왔는지 생각해 보자.

여기에는 개념 부족이나 발상의 실수 같은 여러 이유가 있을 것이다. 그 이유를 코멘트로 달아보자. 발상이 부족했다면 어떤 발상을 못했는지, 계산 실수가 있었다면 ‘단순한 연산 실수’라고 틀린 이유를 짤막하게 적어보자.

5단계: 답지보기(풀이 암기 하지 말고 설명하기)

아무리 풀어보려 해도 도저히 모르겠다 싶은 문제들이 있었을 것이다. 이런 문제를 해설지를 참고해 플어보자. 누군가는 “해설지 참고하면 안 된다고 하던데요?”라고 질문할지 모른다. 그것은 수학 성적이 어느 정도 궤도에 올라간 1, 2등급대 학생에게 맞는 공부법이다. 성적이 그보다 낮은 학생들은 해설지의 도움을 받자.

해설지를 참고하는 데도 방법이 따로 있다. 대부분은 풀이를 보고 “오 그렇구나.” “그러네. 이해했어.”라고 하며 그냥 넘어가 버린다. 그렇게 해서는 절대 안 된다.

해설지를 보고 내가 여기서 어떤 부분을 놓쳤는지, 어떤 부분을 몰랐는지를 이해한 다음, 책을 덮고 문제 풀이 과정을 다시 설명해 보자. ‘이렇게 해서 이런 식으로 푸는 거네.’라고 정확히 이해하고 이를 설명할 수 있어야 한다. 그때에야 비로소 그 문제를 완벽히 정복하게 된다.

6단계: 일주일 뒤 몰아서 복습하기

일주일에 6일, 월‧화‧수‧목‧금‧토를 이렇게 공부하고, 일요일에는 주간에 몰라서 틀린 문제, 헷갈렸던 문제들을 모아서 다시 한 번 풀어보자. 이렇게 하면 문제집을 2회독하는 셈이다. 보통 문제집 한 권을 5회독하는 것이 정석이다. 이런 식으로 문제집을 5회독하면 성적은 무조건 오른다. 겨우 한 등급 올리자고 어렵게 공부를 시작한 것은 아닐 것이다. 수학 1등급을 목표로 삼고 알려준 방법대로 꾸준히 공부해 가자.

인강이나 학원 수강이 끝나고 난 다음 위와 같은 방법으로 수학을 공부하자. 수학 공부가 어렵기는 하지만, 이 방법을 써서 수학 성적이 안 오르는 학생은 없다. 최소 2등급, 최선을 다해 열심히 하면 1등급을 확실히 받을 수 있다,

2022학년도 정시에서 수능 수학성적이 많은 것을 결정했다. 하지만 도전하고 실천하는 학생을 당해낼 문제는 없다. 그러니, 지금 당장 수학 공부를 시작하라.

*에듀진 기사 URL: http://www.edujin.co.kr/news/articleView.html?idxno=38099

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다시 고등 수학 프로그래머, 수학의 뇌를 깨워라!

대학교를 졸업한 이후로 수학책을 펼쳐본 것이 얼마만인지 모르겠다. 프로그래밍을 하면서, 알고리즘을 공부하면서 항상 수학에 관심은 있었지만 다시 중학교, 고등학교 수학을 다시 살펴보기에는 너무 양이 많다고 생각했다. 공부해보면 재미있지 않을까라는 생각만 몇년째 하고 있는지 모르겠다.그런데 이렇게 길벗출판사 개발자 리뷰어에 선정이 되어서 “다시 고등 수학” 이라는 책을 읽어보게 되었다.참고로 말하지만 이 책은 내가 아직 다 읽지는 못했다. 수학에 대한 내용이고 증명이 많이 나오다 보니 좀다 잘 이해하고 싶은 마음에 천천히 읽어가고 있다.이 책은 아래와 같이 고등학교 과정이라고 표시되어있는 부분의 내용들을 총 7장에 걸쳐서 다룬다. 7개의 장은 각각 기하학, 대수학, 해석기하학, 정수론과 수열, 해석학, 확률과 통계, 대학 수학으로 가는 길로 이루어져 있다.전체 내용이 고등 수학을 다루기는 하지만 그렇다고 중학교에 나오는 수학이 아예 안나오는건 아니다. 필요한 부분에 대해서는 중학교에서 나왔던 수학도 설명을 해주기 때문에 중학교 수학이 기억이 안난다고 걱정할 필요는 없다.책의 구성이나 내용의 정리는 눈에 쉽게 들어오도록 구성되어있다. 색깔이나 글자도 과하지 않고 적절한 공간과 큰 그림들이 내용을 이해하는데 많은 도움을 줬다. 앞에서 말한것 처럼 증명에 대한 내용들이 많이 나왔는데 고등학교 다닐때 증명이 나오면 정말 읽기 싫었는데 이 책에서는 왜인지 모르게 읽게 되는 묘한 매력이 있었다. 학교 다녔을때 배웠던 그 느낌과 지금 다시 보는 느낌이 달라서였을까? 어쨌든 수학책 임에도 불구하고 딱딱하지 않으면서 내용을 잘 이해 할수 있도록 내용이 구성된것 같다.내가 이 책을 읽지만 이 책의 내용들을 언제 써먹을 일이 생길지는 모르겠다. 하지만 그렇게 잘한편은 아니지만 잘하고 싶었던 과목이었던 수학을 지금 다시 만나니 새로웠다. 서점에 가서 고교 문제집을 사거나 하는 노력을 들이지 않아도 충분히 내가 알고 싶었던 내용의 수학을 잘 배울수 있고 다시 생각하게 해주는 재미있는 책이다.”이 책은 길벗 출판사 개발자 리뷰어에 선정되어서 작성한 리뷰 입니다.”

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