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라플라스 변환 쉽게 배우기 [1편] : (정의, 기본 공식 4가지)

라플라스 변환 쉽게 배우기 [1편] : (정의, 기본 공식 4가지)

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라플라스 변환::::수학과 사는 이야기

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라플라스 변환

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#3.2 Laplace Transform-2(라플라스변환법 기본공식들) – 공학이야기

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조금은 느리게 살자: 라플라스 변환의 성질(Properties of Laplace Transform)

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  [증명]. 식 (1.14)에 나온 적분을 식 (3.1)의 길쌈(convolution)으로 바꾸어서 식 (3.3)과 같은 라플라스 변환을 적용한다. …
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2020년 10월 7일 수요일

[아름다운 총서] 푸엥카레 가라사대 자연이 아름답지 않으면 연구는 필요 없다 연구가 없으면 삶도 없다

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15강. 라플라스 변환 / 라플라스 변환표

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라플라스 변환의 정의와 존재성 증명

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정의1

설명

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수학과 사는 이야기

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수학과 물리학자이면서 천문학자였던 피에르 시몬 마르퀴스 데 라플라스는 확률론에서 미분방정식을 아주 쉽게 계산할 수 있게 해주는 적분 변환을 고안하였다. 프랑스의 뉴턴으로 불렸던 그는 가난한 농부의 아들이었지만 훗날 나폴레옹과 친구가 되고 귀족이 되었다.

라플라스 변환을 공부하면 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고 해를 구하고 이를 역변환하여 미분방정식의 해를 구할 수 있게 된다.

라플라스 변환

정의 함수 $f$의 라플라스 변환은 $t \geq 0$에서 정의된 함수를 아래와 같이 적분한 값이 수렴하는 함수다. $$F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{0}^{b} e^{-st} f(t) dt$$ 이것을 기호로는 $\mathscr{L}\{f(t)\}=F(s)$로 적는다.

스크립트 글꼴로 쓰인 기호도 뭔가 보기 좋다.

보기 $$\begin{split} \mathscr{L} \{ 1 \} & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot 1\;dt =\lim_{b \rightarrow \infty} \int_{0}^{b} e^{-st} dt \\ &= \lim_{b \rightarrow \infty} \frac{-e^{-st}}{s} \bigg|_{0}^{b} \\ &= \lim_{b \rightarrow \infty} \frac{-e^{-sb}+1}{s} \\ &= \frac{1}{s} \quad s>0 \end{split}\tag{a}$$

이것을 더 짧게 아래와 같이 쓴다.

$$\begin{split} \mathscr{L} \{ 1 \} & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \;dt \\ &= \lim_{b \rightarrow \infty} \frac{-e^{-st}}{s} \bigg|_{0}^{\infty} \\ &= \frac{1}{s} \quad s>0 \end{split}$$

정리

라플라스 변환은 선형 변환(linear transform)이다.

증명은 적분의 성질이므로 아주 간단하다. $$\int_{0}^{\infty} e^{-st}[\alpha f(t)+\beta g(t)]\;dt =\alpha \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt +\beta \int_{0}^{\infty} e^{-st} g(t) dt$$

$\blacksquare$

$$\mathscr{L}\{\alpha f(t) +\beta g(t)\}=\alpha \mathscr{L} \{ f(t) \} +\beta \mathscr{L} \{ g(t) \}=\alpha F(s)+\beta G(s) $$

정리

$f(t)$가 구간 $[0, \infty)$에서 구간별로 연속(piecewise coutinuous)이고 $t>T$일 때 지수 차수(exponential order)이면 $s>c$일 때 $\mathscr{L} \{ f(t) \} $가 존재한다.

참고

함수 $f$가 주어진 구간에서 불연속인 점이 기껏해야 유한개이거나 연속이면 함수 $f$는 구간별로 연속이다.

$t>T$일 때 $|f(t)|0, T>0$가 존재하면 $f$는 지수 차수라 말한다.

증명 $$\begin{split} \mathscr{L} \{ f(t) \} &=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt \\ &=\int_{0}^{T} e^{-st} f(t) dt +\int_{T}^{\infty} e^{-st} f(t) dt=I_1 +I_2\end{split}$$

$I_1$은 $f$가 연속인 구간별로 적분하면 되므로 $I_2$가 존재함을 밝히면 된다.

$$\begin{split} |I_2| & \leq \int_{T}^{\infty} | e^{-st} f(t) | dt \leq M \int_{T}^{\infty} e^{-st} e^{ct} dt \\ &= M \int_{T}^{\infty} e^{-(s-c)t} dt = -M \frac {e^{-(s-c)t} }{s-c} \bigg|_{T}^{\infty} \\ &= M \frac {e^{(s-c)T}}{s-c} \quad for \quad s > c \end{split}$$

$\blacksquare$

중요한 몇몇 함수를 변환해 보자.

1.

$\displaystyle{\begin{split} \mathscr{L} \{ t \} & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} t \;dt \\ &= \frac{-te^{-st}}{s} \bigg|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \;dt \\ &= \frac{1}{s} \mathscr{L} \{ 1 \} =\frac{1}{s} \bigg( \frac{1}{s} \bigg) \\&= \frac{1}{s^2} \quad s>0 \end{split}}$

$\displaystyle{\begin{split} \mathscr{L} \{ t^n \} & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} t^n \;dt \\ &= \frac{-t^n e^{-st}}{s} \bigg|_{0}^{\infty} + \frac{n}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} t^{n-1}\;dt \\ &= \frac{n}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} t^{n-1}\;dt \\ &= \frac{n}{s} \mathscr{L} \{ t^{n-1} \} \end{split}}$

2.

$\displaystyle{\begin{split} \mathscr{L} \{ e^{-3t} \} & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{-3t} \;dt \\ & = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t} \;dt \\ &= \frac{-e^{(s+3)t}}{s} \bigg|_{0}^{\infty} \\ &= \frac{1}{s+3} \quad s>-3 \end{split}}$

3.

$\displaystyle { \begin{split} \mathscr{L} \{ \sin 2t \} & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin 2t \;dt \\ &= \frac{-e^{-st} \sin 2t}{s} \bigg|_{0}^{\infty} + \frac{2}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos 2t \;dt \\ &= \frac{2}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos 2t \;dt , \quad s>0 \\ & = \frac{2}{s} \bigg[ \frac{e^{-st} \cos 2t}{s} \bigg|_{0}^{\infty} – \frac{2}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin 2t \;dt \bigg] \\&= \frac{2}{s^2} – \frac{4}{s^2} \mathscr{L} \{ \sin 2t \}\end{split}}$

$\displaystyle{\begin{split}\\ \bigg[ 1+\frac{4}{s^2}\bigg] \mathscr{L} \{\sin 2t \} &= \frac{2}{s^2} \\ \mathscr{L} \{\sin 2t \}&= \frac{2}{s^2 +4} \quad s>0 \end{split}}$

4.

$\displaystyle{ \begin{split} \mathscr{L} \{ 3t -5 \sin 2t \}& = 3 \mathscr{L}\{ t \} -5 \mathscr{L} \{ \sin 2t \} \\ &= 3\cdot \frac{1}{s^2}-5\cdot \frac{2}{s^2 +4}\\ &= \frac{-7s^2 +12}{s^2 (s^2 +4)},\quad s>0 \end{split}}$

중요한 변환을 적어보면 아래와 같다. $\displaystyle{\mathscr{L} \{ 1 \} = \frac{1}{s} \tag{a}}$ $\displaystyle{\mathscr{L} \{ t^n \} = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad n=1,2,3,\cdots \tag{b}}$ $\displaystyle{\mathscr{L} \{ e^{at} \} = \frac{1}{s-a} \tag{c}}$ $$\displaystyle{\mathscr{L} \{ \sin kt \} = \frac{k}{s^2 +k^2} \tag{d}}$$ $$\displaystyle{\mathscr{L} \{ \cos kt \} = \frac{s}{s^2 +k^2} \tag{e}}$$ $$\displaystyle{\mathscr{L} \{ \sinh kt \} = \frac{k}{s^2 -k^2} \tag{f}}$$ $$\displaystyle{\mathscr{L} \{ \cosh kt \} = \frac{s}{s^2 -k^2} \tag{g}}$$

5

$\displaystyle{ \begin{split} \mathscr{L} \{ \sin^2 t \}& = 3 \mathscr{L}\{ \frac{1-\cos 2t}{2} \}= \frac{1}{2} \mathscr{L} \{ 1 \} -\frac{1}{2} \mathscr{L} \{ \cos 2t \}\\ &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s} -\frac{1}{2}\cdot \frac{s}{s^2 +4}= \frac{2}{s (s^2 +4)}. \end{split}}$

라플라스 역변환

라플라스 변환은 아래와 같이 역변환을 정의한다.

$$f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(s) \}$$

중요한 역변환을 적어보면 아래와 같다. $\displaystyle{ 1 = \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s} \bigg\} \tag{a}}$ $\displaystyle{t^n = \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{n!}{s^{n+1}} \bigg\} \quad n=1,2,3,\cdots \tag{b}}$ $\displaystyle{ e^{at} = \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s-a} \bigg\} \tag{c}}$ $$\displaystyle{ \sin kt = \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{k}{s^2 +k^2} \bigg\} \tag{d}}$$ $$\displaystyle{ \cos kt = \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{s}{s^2 +k^2} \bigg\} \tag{e}}$$ $$\displaystyle{ \sinh kt = \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{k}{s^2 -k^2} \bigg\} \tag{f}}$$ $$\displaystyle{ \cosh kt = \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{s}{s^2 -k^2} \bigg\} \tag{g}}$$

1. $\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s^5} \bigg\} =\frac{1}{4!}\mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{4!}{s^5} \bigg\}=\frac{1}{24}t^4}$

2. $\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s^2 +64} \bigg\} =\frac{1}{8}\mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{8}{s^2+ 64} \bigg\}=\frac{1}{8}\sin 8t}$

3. $\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{3s+5}{s^2 +7 } \bigg\} =3 \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{s}{s^2 +7 } \bigg\}+\frac{5 }{\sqrt7}\mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{\sqrt 7 }{s^2 +7 } \bigg\}=3\cos \sqrt7 t+\frac{5}{\sqrt7}\sin \sqrt7 t}$

4. 고등학교에서 배우는 부분분수로 분리하는 방법을 써서 다양한 역변환을 할 수 있다.

예를 들면 $\displaystyle{\frac{1}{(s-1)(s+2)(s+4)}=\frac{1/15}{s-1}-\frac{1/6}{s+2}+\frac{1/10}{s+4}}$이므로

$\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{(s-1)(s+2)(s+4)} \bigg\}=\frac{1}{15} \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s-1} \bigg\} -\frac{1}{6} \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s+2} \bigg\}+\frac{1}{10} \mathscr{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s+4} \bigg\}= \frac{1}{15}e^t -\frac{1}{6}e^{-2t}+\frac{1}{10}e^{-4t}}$

정리

$f(t)$가 구간 $[0,\infty)$에서 구간별 연속이고 $t>T$에 대하여 지수 차수이면 $\displaystyle{\lim_{s\rightarrow \infty}\mathscr{L}\{f(t)\}=0}$이다.

증명 $f(t)$가 구간 $[0,\infty)$에서 구간별 연속이면 $0\leq t \leq T$에서 유계되어 있다.

$$|f(t)|\leq M_1 =M_1 e^{0t}$$

또한 지수 차수를 가지므로 $t>T$에 대하여 아래와 같이 유계되어 있다.

$$|f(t)| \leq M_2e^{\gamma t}$$

$M=max\{M_1, M_2\},\quad c=max\{0,\gamma\}$라고 하면

$$|\mathscr{L}\{f(t)\}| \leq \int_{0}^{\infty} e^{-st} |f(t)|\;dt \leq M \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{ct}\;dt = -M \frac{e^{-s-c)t}}{s-c}\bigg|_{0}^{\infty}=\frac{M}{s-c}$$

그러므로 $s \rightarrow \infty$일 때, $|\mathscr{L}\{f(t)\}| \rightarrow 0$이므로 $\mathscr{L}\{f(t)\} \rightarrow 0$이다.

$\blacksquare$

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#3.2 Laplace Transform-2(라플라스변환법 기본공식들)

#0. 기본공식

지난글에서 간단하게 변환이란것에 대해 소개하고, 그 중 라플라스 변환이란 것에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 라플라스 변환공식들중 대표적인 것(다항함수, 지수함수, 삼각함수)들을 직접 계산해보고 결과를 얻어내 보겠습니다. 위의 표는 라플라스 변환표 입니다.

#1. 다항함수

다항함수의 경우 차수가 커져도 일정한 규칙이 보이기 떄문에 일단 t 부터 알아보도록하겠습니다.

t제곱도 넣어보도록 하겠습니다.

마지막항을 보면 t를 넣었을때와 비교해서 바뀐건 2t로 된것이지요? 즉 t를 넣었을때의 과정이 2번 이루어지고 t의 차수가 한번 더 곱해지는 것과 같으므로 값은

이 됩니다. t 세제곱을 넣어도 마찬가지일것입니다. 결국 분모의 차수는 t의 차수를 따라가고 적분되면서 t의 차수가 한번 더 곱해진다고 생각하면 분자는 1x2x3x4x….xN의 형태를 띄게 되겠지요. 그래서 일반식을 적어보면

이런식을 가지게 됩니다.

#2. 지수함수

지난 글의 마지막부분을 보면 s-shifting 이란것을 잠시 언급했을겁니다. e^at 같은 경우 라플라스 식안에도 지수함수가 들어가 있기 떄문에 계산이 쉽습니다.

어떤 함수든간에 앞에 e^at 꼴이 곱해져있다면 그만큼 s->s-a를 대입해서 변환 할 수 있습니다. 라플라스는 S세상에서 벌어지는 일이라고 했습니다. 그렇다면 xy평면에서 벌어지는 일과같이 라플라스에서는 s축방향으로 a만큼 평행이동했다고 생각할 수 있습니다. 즉, e^at 는 s축의 방향으로 평행이동할 수 있는 도구인 셈이지요. 이것을 s-Shifting 이라고 합니다. 나중에 복잡한 형태의 라플라스 역변환시에 s-a형태를 발견한다면 평행이동을 통해 더 쉽게 구할 수 있게 되는 것입니다.

#3. 삼각함수

삼각함수의 경우 cos과 sin이 서로 미분했을때 비슷해지기 때문에 서로에 대한 라플라스값을 이용하게 됩니다.

마지막항을 보면 앞의 계수 w/s를 제외하고 보면 sinwt 의 라플라스 변환식과 동일해집니다. 따라서 이것을 반영해서 계산식을 다시 세우면

가 됩니다. 그렇다면 반대로 sin을 라플라스 변환하면 cos에 관한 라플라스가 나오게 되겠죠?

이것을 위의 coswt 변환에 넣어주면

마찬가지로 sin의 변환값에 cos값의 변환을 대입하여 계산해주면

이 됩니다.

#4. s- Shifting

앞에서 언급했던 s축 평행이동입니다. 어떤 함수에 지수함수꼴이 곱해져 있다면 쉽게 변환 할 수 있다는 것이지요. 예시를 통해 확인 하고 넘어가도록 하겠습니다.

이렇게 해서 라플라스변환법의 기본적인 공식들에 대한 증명들을 해보았습니다. 다음글에서는 미분방정식을 직접 라플라스변환하여 좀 더 쉽게 풀이하는 방법들에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

15강. 라플라스 변환

[ 라플라스 변환(Laplace Transform) ]

라플라스변환이란 시간영역에있는 함수를 주파수의 영역으로 바꿔주는 함수를 말합니다. 라플라스 변환을 사용하는 이유는 다양한 입력함수에 적용이 가능하다는 점입니다. 그리고 회로의 초기조건들을 알때, 미분방정식을 푸는것보다 훨씬 더 간단하게 회로를 해석할 수 있습니다. 마지막으로 회로전체의 응답을 한 번의 계산으로 쉽게 파악할 수 있습니다. 이제 라플라스 변환의 정의를 해보겠습니다.

시간함수 f(t)를 주파수함수 F(s)로 변환한 모습입니다. 위 식에서 s는 복소수 변수로서 실수와 허수부로 나뉩니다.

$$ s = \sigma+j\omega$$

라플라스 변환에대한 설명을 이어가기 전, 단위계단함수와 임펄스함수에대해서 다루고 넘어가도록하겠습니다.

① 단위계단함수 (Unit Step Function)

단위계단함수는 시간 t가 0보다 작을때는 함수값이 0, 0보다 클때는 함수값이 1입니다. 즉, 특정시간에 스위치를 켰을 때, 회로의 동작을 표현하기에 적합한 함수입니다.

② 임펄스함수

임펄스함수는 t=0일때만 정의되는 함수입니다. 그리고 시간의 전 구간에서 적분을 하면 1이라는 값이 나오게됩니다. 이 함수는 주로 다른 함수와 곱해져 특정시간의 함수값을 추출하는데 사용하게 됩니다. 아날로그-디지털변환에서 신호를 샘플링하는데도 사용되는 함수입니다.

$$f(t)$$ $$F(s)$$ $$\delta(t)$$ 1 $$u(t)$$ $$\frac{1}{s}$$ $$e^-{at}$$ $$\frac{1}{s+a}$$ $$t$$ $$\frac{1}{s^2}$$ $$t^n$$ $$\frac{n!}{s^{n+1}}$$ $$\sin{\omega t}$$ $$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$ $$\cos{\omega t}$$ $$\frac{s}{s^2+\omega^2}$$ $$sin(\omega t+\theta)$$ $$\frac{s \sin\theta+\omega \cos\theta}{s^2+\omega^2}$$ $$cos(\omega t+\theta)$$ $$\frac{s \sin\theta-\omega \cos\theta}{s^2+\omega^2}$$ $$e^{-at}\sin(\omega t+\theta)$$ $$\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$$ $$e^{-at}\cos(\omega t+\theta)$$ $$\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$$

각 대표적인 시간함수의 라플라스 변환결과를 정리한 표입니다. 위 식에서 2가지식에 대해서 증명하고 넘어가도록 하겠습니다.

성 질 $$f(t)$$ $$F(s)$$ Linearity $$a_1f_1(t)+a_2f_2(t)$$ $$a_1F_1(s)+a_2F_2(s)$$ Scaling $$f(at)$$ $$\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$$ Time Shift $$f(t-a)u(t-a)$$ $$e^{-as}F(s)$$ Frequency Shift $$e^{-at}f(t)$$ $$F(s+a)$$ Time Differentiation $$\frac{df}{dt}$$ $$sF(s)-f(0^-)$$ $$\frac{d^nf}{dt^n}$$ $$s^nF(s)-sf'(0)- … -f^{n-1}(0)$$ Time Integration $$\int_{0}^{t}f(x)dx$$ $$\frac{1}{s}F(s)$$ Frequency Differentiation $$t(f)$$ $$-\frac{d}{ds} F(s)$$ Initial value $$f(0)$$ $$\lim_{s\rightarrow \infty}sF(s)$$ Final value $$f(\infty)$$ $$\lim_{s\rightarrow 0}sF(s)$$ Convolution $$f_1(t) \ast f_2(t)$$ $$F_1(s)F_2(s)$$

위의 표는 라플라스 변환의 성질입니다. 마찬가지로 위의 나온 예에서 몇가지 증명을 통해 식이 성립하는지 보여드리겠습니다.

※ 라플라스 변환의 적용

시간함수 f(t)의 시간에따른 함수값을 나타낸 그래프입니다. 먼저 이 함수를 라플라스 변환하기 이전에 함수를 시간에대한 표현식으로 나타내야합니다.

[ 라플라스 역변환 (Inverse Laplace Transform) ]

주파수영역의 함수 F(s)의 경우 다시 시간함수로 변환하기위해서 라플라스 변환을 역으로 적용하여 원래의 시간함수로 바꿔야만 시간함수에대한 해석을 완료할 수 있습니다. 변환 방법에대해서 간단한 예를 통해 알아보겠습니다.

함수 F(s)를 원래의 시간함수로 돌려놓는 주요 테크닉은 부분 분수로 분해하여 계산하는 방법이 있습니다.

[ 컨볼루션 (Convolution) ]

컨볼루션은 번역하면 합성곱이라고도 합니다. 연산하고자하는 함수 중 하나를 반전시켜 시간축에따라 이동시키면서 그 값을 구하여 얻어내는 값입니다.

$$y(t)=x(t)\ast h(t) = h(t)\ast x(t)$$

컨볼루션은 교환법칙이 성립합니다. 함수 y(t)의 결과값을 구하는 방식 계산과정은 다를 수 있지만, 두 연산의 결과값은 동일합니다. 이제 컨볼루션의 정의대로 예제를 통해 계산해보겠습니다.

$$① 02 $$

$$\int_{t-1}{2} 1\times\2 = 6-2t $$

위 과정들을 종합하여 컨볼루션 연산 결과값 y(t)에대한 그래프를 그려보면

위와 같이 결과가 나옵니다.

이상으로 라플라스변환에대해서 포스팅 마치도록하겠습니다. 다음포스팅에서는 라플라스변환을 회로에 적용하는 방법과 몇 가지 문제를 통해서 확인하도록하겠습니다. 감사합니다 🙂

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