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나머지정리 고난도 문제

나머지정리 (1) : 일차식으로 나눈 나머지 (개념+수학문제)

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[수학상 이론 40탄] 나머지정리 고난도 유형

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나머지정리 인수정리

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나머지정리 (1) : 일차식으로 나눈 나머지 (개념+수학문제)

* 수정사항 안내
[2020-12-20 수정] 문제 일부의 답이 잘못 표기되어 있어 고쳤습니다. 학습지에서 수식으로 적혀있지 않은 부분을 고쳤습니다.

안녕하세요, 학습지제작소입니다.

오늘은 고등수학(상)의 다항식 단원의 나머지정리를 공부할 차례입니다.

저번 학습지까지는 인수분해를 공부하면서, 다항식을 여러 인수들의 곱으로 표현해보았는데요,

오늘은 다항식을 차수가 낮은 다항식으로 나누었을 때 나머지를 어떻게 구할 수 있는지 이야기해보겠습니다.

| 항등식의 성질은 무엇일까?

나머지정리를 본격적으로 배우기 전에, 항등식에 대한 논의가 필요합니다.

항등식이란 어떤 변수 x에 대하여 다항식 P(x), Q(x)가 x의 값에 관계없이 항상 같은 식을 의미합니다.

위 두 다항식 P(x), Q(x)에 대하여 두 식은 x에 어떤 값을 넣더라도 값이 항상 같습니다.

따라서 P(x) = Q(x)는 항등식입니다.

그렇다면, 항등식의 성질은 무엇일까요?

항등식의 성질은 좌변과 우변의 계수들이 모두 서로 같다는 점입니다.

위 P(x)와 Q(x)를 비교해보아도 x의 계수가 각각 3, 상수항이 각각 -1입니다.

이러한 성질을 이용해, 항등식인 식에 관해 문자의 값을 구할 수도 있습니다.

<예제 1>

위 예제에 대하여 등식 ax+3=2x-b는 항등식입니다.

이때 x의 계수는 a와 2로 서로 같고, 상수항은 3과 -b로 서로 같습니다.

따라서

을 얻을 수 있습니다.

| 나머지정리란 무엇일까?

나머지정리란, 다항식 P(x)를 x-a, 즉 일차식으로 나누었을 때 나머지 R에 대하여 다음 식이 성립한다는 정리입니다.

어떻게 이러한 공식을 얻을 수 있을까요? 한 번 P(x)를 x-a로 나누어보겠습니다. 이때 몫을 Q(x)라고 약속한다면,

라고 표현할 수 있습니다. 이를 검산식으로 나타내면,

이 됩니다. 고등수학에서는 일반적으로 나눗셈을 나눈 식과 몫의 곱과 나머지의 합으로 나타냅니다.

이 상태에서 x=a를 대입해봅시다.

위 식에서 a-a는 0이므로, R을 뺀 나머지 부분은 0이 됩니다.

따라서 나머지 R은 x-a에 대하여 x=a일 때 다항식 P(x)의 값 입니다.

즉 나머지 정리는,

나누는 수가 0이 되게 만드는 x의 값을 대입한 식의 값입니다.

이해를 위해 예제 두 문제를 풀어봅시다.

<예제 2>

<예제 2>를 풀기 위해 P(x)를 x+1로 나누어보면,

로 표현할 수 있습니다. 이 상태에서 x에 -1을 대입하면,

이 되어 나머지가 -11임을 알 수 있습니다.

<예제 3>

<예제 2>를 풀기 위해 나머지정리 꼴로 나타내면,

입니다. 2x-1을 0으로 만드는 x의 값은 1/2이기 때문에 x=1/2를 양변에 대입합니다.

따라서 나머지는 -1/4입니다.

이번 연습문제는 모두 삼차식을 일차식으로 나누었을 때 나머지를 구하는 문제들입니다. 나머지정리를 이용해 나머지를 구해보시길 바랍니다.

학습지 첨부파일은 아래에 있습니다.

2020SP H1-06(수정본).pdf 0.12MB

그럼 나머지정리 첫 번째 포스팅을 마치겠습니다.

다음 포스팅은 이차식으로 나누었을 때 나머지 구하기 문제로 찾아뵙겠습니다.

감사합니다!

더보기 #태그 : 고등학교 1학년 수학, 고1 수학, 고등수학(상), 고등수학, 나머지정리, 다항식, 나머지정리 하는 방법, 나머지정리 공식, 나머지정리 연습문제, 고1 수학 연산문제, 고1 수학, 다운, 다운로드, pdf

나머지정리, 인수정리

다항식을 나누는 건 숫자를 나누는 것과 같다고 했어요. 다만 최고차항의 차수와 계수를 이용해서 나누는 것만 다르죠.

다항식을 나누는 이유는 몫과 나머지를 구하기 위해서예요. 그런데, 몫은 필요 없고 나머지만 구하는 경우도 있겠죠? 이럴 때 나머지정리라는 걸 이용하면 편리하게 나머지를 구할 수 있어요.

인수정리라는 것도 있는데, 인수정리의 인수는 인수분해에서 사용했던 인수와 같은 말이에요. 그러니까 인수분해와 인수정리의 연관성을 생각해보는 것도 좋아요.

나머지정리와 인수정리는 한 끗 차이니까 잘 비교해서 이해하세요.

나머지정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0 아닌 다항식 B로 나눌 때, 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면 A = BQ + R이라는 식으로 나타낼 수 있다고 했어요.

다항식의 나눗셈을 할 때, 세로로 바꿔서 숫자의 나눗셈을 할 때처럼 한다고 했죠? 그래서 몫과 나머지를 구했어요. 그런데 몫은 구하지 않고 나머지만 바로 구할 수 있을까요? 나머지정리를 이용해서 나머지만 구할 수 있는데, 어떻게 하는지 알아보죠.

x3 + 2×2 – 3x + 7을 x – 4로 나누었을 때 나머지를 구해보죠.

A = BQ + R이므로

x3 + 2×2 – 3x + 7 = (x – 4)Q + R로 쓸 수 있겠죠?

R만 구하는 방법은 두 가지에요.

우변의 (x – 4)Q를 이항해서 R = x3 + 2×2 – 3x + 7 – (x – 4)Q로 만들거나

우변의 (x – 4)Q = 0으로 만들어서 R = x3 + 2×2 – 3x + 7을 구하는 거죠.

두 번째 방법에서 (x – 4)Q를 0이 되게 만들 수 있어요. 어떻게요? x = 4를 대입하면 되잖아요.

항등식의 미정계수법 – 수치대입법을 생각해보세요. x에 특정한 값을 대입해서 식을 간단하게 만들었잖아요. x = 4를 대입해보죠.

43 + 2 × 42 – 3 × 4 + 7 = (4 – 4)Q + R

R = 64 + 32 – 12 + 7 = 91

직접 나눗셈을 해보지 않아도 나머지만 빠르게 구했어요.

위에서는 A라는 식을 사용했는데요, 보통은 x에 관한 식을 사용하니까 나눠지는 식을 f(x)라고 하고, 몫은 Q(x)라고 해요. f(x)를 x – 4로 나눌 때의 나머지는 x = 4를 대입했을 때의 값이죠? 이건 f(4)라고 표현할 수 있잖아요.

f(x)를 (x – 4)로 나눌 때의 나머지 = f(4)

이번에는 같은 식을 2x – 1로 나누었을 때의 나머지를 구해보죠. 식을 써보면 아래처럼 될 거예요.

f(x) = x3 + 2×2 – 3x + 7 = (2x – 1)Q(x) + R

마찬가지로 수치대입법을 이용해서 x = 을 대입하면 (2x – 1)Q(x) = 0이 되어서 우변은 R만 남죠.

두 보기에서 확인할 수 있듯이 f(x)를 일차식으로 나눌 때의 나머지 R은 (나누는 일차식) = 0이 되는 x를 f(x)에 대입한 값과 같아요.

나머지정리

x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (x – α)로 나누었을 때 나머지 R = f(α)

x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (ax + b)로 나누었을 때의 나머지 R =

다항식 f(x)를 (x – 1)로 나눈 나머지는 1, (x – 2)로 나눈 나머지는 3일 때, f(x)를 (x – 1)(x – 2)로 나눈 나머지를 구하여라.

문제를 식으로 나타내 보죠.

f(x)를 (x – 1)로 나눈 나머지가 1 → f(1) = 1

f(x)를 (x – 2)로 나눈 나머지가 3 → f(2) = 3

f(x)를 (x – 1)(x – 2)로 나누기 → f(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) + R(x)

여기서 중요한 건 나머지는 나누는 식보다 차수가 작다는 거예요. 나누는 식이 (x – 1)(x – 2)로 이차식이니까 R은 상수항일 수도 있지만, x에 관한 일차식일 수도 있어요. x에 관한 일차식이니까 R(x) = ax + b라고 나타내야 합니다.

f(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) + ax + b

f(1) = (1 – 1)(1 – 2)Q(1) + a + b = 1

a + b = 1

f(2) = (2 – 1)(2 – 2)Q(2) + 2a + b = 3

2a + b = 3

a + b = 1, 2a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 2, b = -1이 되므로 R(x) = ax + b = 2x – 1이에요.

나머지정리는 나누는 식이 일차식일 때뿐 아니라 그보다 더 높은 차수의 식일 때도 사용할 수 있다는 걸 알 수 있죠? 또, 나누는 식 = 0이 되는 x의 개수가 더 많아지는 것도 확인할 수 있어요.

나누는 식이 일차식이면 R은 상수

나누는 식이 이차식이면 R(x) = ax + b

나누는 식이 삼차식이면 R(x) = ax2 + bx + c

인수정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때 나머지 R = 0이면 나누어떨어진다고 했어요. R = 0이니까 f(x)로 바꿔서 표현하면 f(x) = (x – α)Q(x)가 되겠죠?

나머지정리에 의해서 f(x)에 x = α를 대입하면 f(α) = 0이 돼요.

f(x) = (x – α)Q(x)에서 f(x)는 (x – α)와 Q(x)라는 두 다항식의 곱으로 되어있어요. 이렇게 어떤 다항식이 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표시하는 걸 인수분해라고 했어요. 곱해져 있는 다항식을 인수라고 하죠? 따라서 (x – α)와 Q(x)는 f(x)의 인수에요.

그래서 이걸 인수정리라고 하는 거예요.

인수정리

x에 대한 다항식 f(x)가 (x – α)로 나누어떨어진다.

⇔ f(x) = (x – α)Q(x)

⇔ f(α) = 0

⇔ f(x)가 (x – α)를 인수로 가진다.

f(x)가 (ax + b)로 나누어떨어진다.

⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)

⇔ = 0

⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.

인수정리는 나머지정리 중에서 나머지 R = 0일 때를 말하는 거예요.

다항식 f(x) = 3×3 – ax2 + x – 6가 x – 2로 나누어떨어질 때 a의 값을 구하여라.

다항식 f(x)가 x – 2로 나누어떨어지면 f(2) = 0이에요.

f(2) = 3 × 23 – a × 22 + 2 – 6 = 0

4a = 24 + 2 – 6

4a = 20

a = 5

f(x) = 3×3 – 2×2 + ax – b가 (x – 1)과 (x – 2)로 나누어떨어질 때, a, b를 구하여라.

f(x)가 (x – 1)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x – 1)Q 1 (x) ⇔ f(x)는 (x – 1)을 인수로 가진다. ⇔ f(1) = 0

f(x)가 (x – 2)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x – 2)Q 2 (x) ⇔ f(x)는 (x – 2)을 인수로 가진다. ⇔ f(2) = 0

f(x)가 (x – 1)과 (x – 2) 두 개 모두를 인수로 가지므로 이걸 식으로 나타내면 f(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x)로 쓸 수 있어요.

f(1) = 3 × 13 – 2 × 12 + a – b = 0

a – b = -1

f(2) = 3 × 23 – 2 × 22 + 2a – b = 0

2a – b = -16

a – b = -1, 2a – b = -16를 연립방정식으로 풀어보면 a = -15, b = -14

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정리해볼까요 나머지정리 x에 관한 식 f(x)를 (x – α)로 나눌 때의 나머지 = f(α)

f(x) = (x – &alpha)Q(x) + R

f(x) = (x – &alpha)Q(x) + R x에 관한 식 f(x)를 (ax + b)로 나눌 때의 나머지 =

f(x) = (ax + b)Q(x) + R 인수정리 x에 대한 다항식 f(x)가 x – α로 나누어떨어진다.

⇔ f(x) = (x – α)Q(x)

⇔ f(α) = 0

⇔ f(x)가 (x – α)를 인수로 가진다.

⇔ f(x) = (x – α)Q(x) ⇔ f(α) = 0 ⇔ f(x)가 (x – α)를 인수로 가진다. f(x)가 ax + b로 나누어떨어진다.

⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)

⇔ = 0

⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.

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