Top 45 Suites Numériques Exercices Corrigés Première Pdf Best 16 Answer

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Comment résoudre une suite numérique ?

Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.

Quels sont les différents types de suite ?

Quels sont les deux types de suites ?

Tu dois savoir qu’il y a 2 types de suites que l’on utilise souvent : les suites géométriques et les suites arithmétiques. Une suite arithmétique, c’est quand on fait « +r » à chaque nouveau terme, avec r qui est un réel.

Comment reconnaître les suites ?

Autrement dit, une suite est géométrique si et seulement si chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un nombre réel q, toujours le même.

Comment calculer u50 ?

De plus, u50 = u0 +50r, soit u0 = u50 −50r = 406−50×8 = 6 2.

Comment apprendre les suites ?

Le plus simple c’est de regarder tout de suite un exemple qui utilise les deux : Quand j’écris U_{n+1} = nxU_n+ 11n, tu dois comprendre que n est utilisé comme indice dans les termes en rouge et comme valeur quand il est bleu.

C’est quoi le terme d’une suite ?

Définition : Une suite est une « succession » de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite. Une suite (un) associe, à tout entier n, un nombre réel noté un et appelé le terme général de la suite. La notation un est la notation indicielle, n est appelé l’indice ou le rang.

Comment savoir si une suite n’est pas arithmétique ?

Pour montrer qu’une suite (U_n) n’est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U₀, U₁ et U₂ (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que U_2 – U_1 \ne U_1 – U_0.

Quelle est la différence entre l’algèbre et l’arithmétique ?

En “arithmétique“, il s’agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l’inconnu. En algèbre, il s’agit d’exprimer des relations entre des quantités, qu’elles soient connues ou inconnues.

Comment trouver u1 ?

Ici, dans les expressions obtenues, on aura u1 en fonction de u0 ; u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u2… Comme u0 = 1, on a u0+1 = −3u0 +2 soit u1 = −3×1+2 = −1 u1+1 = −3u1 +2 soit u2 = −3×(−1)+2 = 5 u3 = −3u2 +2 = −3×5+2 = −13 u4 = −3u3 +2 = −3×(−13)+2 = 41 u5 = −3u4 +2 = −3×41+2 = −121.

Quel est le nombre manquant 10 20 40 80-160 ?

Solution 3. La suite est 10, 20, 40, 80, 160. La somme est 310.

Comment additionner deux suites ?

La somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique est la moyenne du premier et du dernier terme (donc leur somme divisée par 2), multipliée par le nombre de termes.

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[exercice E3C] 4 exercices sur les suites numériques – Spé maths – Première

[exercice E3C] 4 exercices sur les suites numériques – Spé maths – Première

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suites numériques exercices corrigés première pdf

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Suites numériques : exercices de maths corrigés en PDF en 1ère S

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Les suites : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

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Suite (mathématiques) — Wikipédia

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Fragments d’histoire[modifier modifier le code]

Notations[modifier modifier le code]

Exemples de suites[modifier modifier le code]

Limite d’une suite[modifier modifier le code]

Suites réelles et relation d’ordre[modifier modifier le code]

Suites particulières[modifier modifier le code]

Notes et références[modifier modifier le code]

Voir aussi[modifier modifier le code]

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Les suites | Méthode Maths

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20 réflexions sur “ Les suites ”

Cours exercices vidéos et conseils méthodologiques en Mathématiques

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Suites arithmetiques et géométriques – Cours maths 1ère – Educastream

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Suites arithmétiques

Suites géométriques

Sommaires

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Les suites : exercices de maths en 1ère en PDF – Première.

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Exercices CORRIGES – Site de lamerci-maths-1es !

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suites numériques exercices corrigés première pdf

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Suites numériques : exercices de maths corrigés en PDF en 1ère S

Une série d’exercices de maths en 1ère S sur les suites numériques. Vous retrouverez dans ces fiches sur les suites numériques en première S, les notions suivantes : définition d’une suite numérique;

suite arithmétique;

terme de rang n d’une suite arithmétique et somme des premiers termes d’une suite numérique;

terme de rang n d’une suite géométrique et somme des premiers termes d’une suite géométrique;

sens de variation d’une suite numérique (suite croissante et décroissante ou monotone).

Exercice 1 :

Soit la suite définie pour tout par .

Calculer et .

Exercice 2 :

Soit la suite définie pour tout par .

Calculer et .

Exercice 3 :

On considère la suite définie pour tout par .

Exprimer et en fonction de n.

Exercice 4 :

On considère la suite définie par et, pour tout , .

1) Calculer et .

2)A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de à près.

Exercice 5 :

Soit la suite définie pour tout par .

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f.

Déterminer la valeur des cinq premiers termes de la suite .

Exercice 6 :

Soit une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme .

1)Exprimer en fonction de n.

2)Calculer .

Exercice 7 :

Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Justifier.

a) définie par et, pour tout .

b) définie pour tout par .

c) définie pour tout par .

Exercice 8 :

Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Justifier.

a) définie par et, pour tout .

b) définie pour tout par .

c) définie pour tout par .

Exercice 9 :

Yacine a préparé un gâteau au chocolat qu’il a déposé

dans une assiette dans la cuisine. À chaque fois qu’il passe

devant, il se sert la moitié de ce qui reste.

On note , la proportion du gâteau qui reste dans l’assiette

après que Yacine se soit servi n fois.

1. Donner la valeur de et de .

2. Justifier que la suite est une suite géométrique et préciser sa raison.

Exercice 10 :

En étudiant le signe de , étudier les variations des suites ,

définies pour tout .

.

.

.

Exercice 11 :

Soit la suite définie pour tout entier par .

1)Calculer .

2)Résoudre l’inéquation .

3)En déduire les variations de la suite .

Exercice 12 :

Yanis a une grande collection de poupées russes.

On s’intéresse à une série de poupées russes.

La plus petite figurine mesure 1 cm de hauteur.

Chaque poupée se trouve dans une poupée qui mesure 0,5 cm de plus qu’elle.

On note , la taille de la n-ième poupée (dans l’ordre croissant).

On a donc .

1. Exprimer en fonction de n.

2. Quelle est la taille de la 10° poupée ?

3. Si, au lieu d’emboîter les poupées on les empilait, quelle

serait la hauteur d’une pile formée de 10 poupées ?

Exercice 13 :

1.Soit la suite définie pour tout par .

Calculer , et .

2. Soit la suite définie tout par

Calculer et .

3. On considère la suite définie pour tout par .

Calculer les cinq premiers termes de la suite .

4. On considère la suite définie pour tout par .

Exprimer en fonction de n.

5. Soit la suite définie pour tout par .

Exprimer en fonction de n.

Exercice 14 :

Un matin, Mathéo décide de poser un récipient dans son jardin, contenant 200 g de noisettes.

Chaque après-midi, un écureuil vient manger la moitié du récipient, puis Mathéo remet 80 g

de noisettes le soir.

On note la quantité en grammes de noisettes dans le récipient le n-ième jour au matin.

1. Donner la valeur de et .

2. Exprimer en fonction de .

Exercice 15 :

Soit la suite définie pour tout par .

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f.

Déterminer la valeur des cinq premiers termes de la suite .

Exercice 16 :

Soit la suite définie par et, pour tout par .

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f.

Déterminer la valeur des cinq premiers termes de la suite .

Exercice 17 :

Soit une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme .

Calculer et .

Soit une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme .

1.Exprimer en fonction de n.

2.Calculer .

Exercice 18 :

En étudiant le signe de , étudier les variations des suites définies pour tout

Exercice 19 :

Soit la suite définie pour tout entier par .

1. Calculer .

2. Résoudre l’inéquation .

3. En déduire les variations de la suite .

Exercice 20 :

Étape O : Valentine trace une rosace à trois pétales.

Étape 1 : Elle décide de décorer davantage sa rosace et rajoute un pétale entre deux pétales

consécutifs.

A chaque étape, elle rajoute chaque fois un pétale entre deux pétales consécutifs.

On note le nombre de pétales l’étape n.

On a .

1. Tracer la rosace à l’étape 2.

2. En déduire la valeur de et .

3. Exprimer en fonction de .

4. En déduire l’expression de .

Exercice 21 :

On s’intéresse à une feuille de papier carrée de côté 20 cm.

A chaque étape, on replie les coins de cette feuille pour obtenir un nouveau carré.

On veut étudier la suite qui correspond à la longueur des côtés du carré à l’étape n, en cm.

On a .

1. Déterminer la valeur de .

2. Déterminer une relation entre et .

3. En déduire les variations de la suite .

4. Conjecturer la limite de la suite

On veut maintenant étudier la suite qui correspond à l’épaisseur du pliage, en m, à l’étape n.

La feuille de papier initiale a une épaisseur de 0,1 mm.

5. Déterminer la valeur de et de .

6. Déterminer une relation entre et .

7. En déduire les variations de la suite .

8. En déduire l’expression de en fonction de n.

9. A l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre d’étapes qu’il faudrait pour que le pliage fasse la hauteur de la tour Eiffel, c’est-à-dire 324 m.

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Comment réussir en maths ?

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Les suites : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Les suites numériques avec des exercices de maths en première S en ligne pour progresser en mathématiques au lycée.

Exercice 1 – Résoudre une équation à l’aide de suites

Résoudre l’équation :

Indication : calculer la somme puis remarquer que si x est solution alors x < 0. Exercice 2 – Somme de carrés Calculer la somme suivante : Indication : regrouper les termes par deux. Exercice 3 – Somme des entiers pairs et impairs Calculer les sommes suivantes : somme des premiers entiers naturels impairs. somme des premiers entiers naturels pairs. Exercice 4 – Etude d’une suite numérique Soit la suite définie par : . 1. Calculer . 2. La suite est-elle arithmétique ? Exercice 5 – Suite arithmétique ou géométrique On considère la suite définie par . 1. Calculer 2. La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? Exercice 6 – Etude de deux suites On considère les deux suites et définies pour tout par : . 1. Soit la suite définie par . Démontrer que est une suite géométrique . Exercice 7 – Suite géométrique, étude On considère la suite géométrique de premier terme et de raison . 1. Calculer 2. Calculer . 3. Calculer la somme . Exercice 8 – Racines carrées Soit la suite définie pour tout n par . 1. A l’aide de votre calculatrice, calculer . Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite ? Pour une éventuelle limite ? 2. Démontrer que pour tout n non nul, . 3. En déduire le sens de variation de la suite . 4. En utilisant le résultat de la question 2., montrer que, pour tout entier naturel n non nul, . 5. En déduire que la suite est convergente et préciser sa limite. Exercice 9 – Etude d’une suite arithmétique La suite est arithmétique de raison . On sait que et . 1. Calculer la raison et 2. Calculer la somme . Exercice 10 – Calcul d’une somme de nombres Calculer la somme suivante : Exercice 11 – Représentation graphique d’une suite On considère la suite définie pour tout entier naturel non nul par la relation : . 1. Démontrer que la suite est arithmétique de raison r que l’on précisera. Préciser son sens de variation. 2. Représenter graphiquement la suite . On se limitera aux cinq ou six premiers termes. Exercice 12 – Déterminer une somme d’entiers Calculer la valeur exacte de la somme : Exercice 13 – Lecture de livre Jean est en train de lire un livre. En additionnant les numéros de toutes les pages qu’il a déjà lues, il obtient 351. En additionnant les numéros de toutes les pages qu’il lui reste à lire, il obtient 469. 1. A quelle page en est Jean ? 2. Combien de pages comporte ce livre ? Remarque : on supposera que le livre commence à la page n° 1. Exercice 14 – Déterminer un nombre Déterminer un nombre x tel que les trois nombres 25, x et 16 soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison négative. Exercice 15 – Problème sur les suites numériques Un étudiant loue une chambre pour 3 ans. On lui propose deux type de bail : 1er contrat : un loyer de 200€ pour le premier mois puis une augmentation de 5 € par mois jusqu’à la fin du bail. 2ème contrat : un loyer de 200 € pour le premier mois puis une augmentation de 2 % par mois jusqu’à la fin du bail. 1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis celui du troisième mois. 2. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, c’est-à-dire du 36ème mois. 3. Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ? Justifier à l’aide de calculs. Vocabulaire : un bail est un contrat de location. Exercice 16 – Triangle rectangle 1. ABC est un triangle rectangle. Son plus petit côté est 1 et les longueurs de ses côtés sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. Déterminer ces longueurs. 2. ABC est un triangle rectangle. Son plus petit côté est 1 et les longueurs de ses côtés sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique. Déterminer ces longueurs. Exercice 17 – Suite à double récurrence On considère la suite définie par récurrence par : 1. Calculer 2. Résoudre l’équation du second degré suivante : . 3. Déterminer deux réels A et B tels que : . 4. En déduire Exercice 18 – Calculer la limite Déterminer la limite de la suite définie par : pour tout . Exercice 19 – Etude d’une suite et démonstration par récurrence On considère la suite définie par récurrence par : 1. Calculer 2. Démontrer par récurrence que pour tout Exercice 20 – Déterminer la valeur de deux expressions numériques Calculer la valeur exacte des nombres suivants : Exercice 21 – Suite arithmétique On considère u(n) une suite arithmétique de raison r. 1°) Justifier que u(3) = u(2) + r et que u(4) = u(3) + r En déduire que u(4) = u(2) + 2r 2°) Montrer que u(8) = u(5) + 3r 3°) Quelle relation peut-on écrire entre u(7) , u(2) et r ? Justifier. 4°) On suppose dans cette question que u(0) = 4 et r = 2. Calculer u(5) . Donner sans démonstration la valeur de u(100). Exercice 22 – Représentation graphique On définit une suite (un) par : un = 17 243 – 8n pour tout entier n. On a par exemple, en remplaçant n par 10 : u10 = 17 243 – 8 x 10 = 17 163 1°) Calculer u0 ; u1 ; u1990 ; u1991 ; u1992 . 2°) Calculer u1 – u0 ; u1991 – u1990 ; u1992 – u1991 3°) En remplaçant n par n+1 dans l’expression de un montrer que pour tout entier n : un+1 = 17 235 – 8n En déduire que, pour tout entier n : un+1 – un = -8 4°) En utilisant la relation un+1 – un = -8, c’est-à-dire un+1 = un – 8 compléter le tableau suivant. La suite (un) est-elle une suite décroissante ? n 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 un 1 323 5°) Représenter graphiquement la suite (un) lorsque n varie de 1990 à 2000. Exercice 23 – Liste électorale On donne, dans le tableau suivant, le nombre d’inscrits sur la liste électorale d’une petite commune pour les années de 1990 à 2000. Année 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Nombre d’inscrits 1323 1313 1304 1297 1288 1289 1281 1271 1258 1248 1243 1°) On note Pn le nombre d’inscrits sur la liste électorale pour l’année n. Donner la valeur de P1992 et P1998 2°) Calculer P1994 – P1993. Que représente ce nombre ? Calculer P1995 – P1994. Que représente ce nombre ? 3°) Peut-on dire que la suite des nombres Pn est une suite décroissante lorsque n varie de 1990 à 2000 ? 4°) Représenter graphiquement la suite (Pn). Exercice 24 – Etude d’un capital On dispose d’un capital de €. Le 1er janvier 2000, on place ce capital sur un compte à intérêts composés de 3 % par an. 1. Calculer le capital obtenu au bout d’un an. 2. Calculer le capital obtenu au bout de 7 ans. De quel pourcentage a augmenté le capital pendant ces 7 années ? 3. Combien d’années faut-il laisser cet argent sur le compte afin d’avoir un capital d’au moins 2 000 € ? Exercice 25 – Suites numériques et pourcentages Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l’atmosphère du carbone 14 qui est un élément radioactif. Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone 14 que l’atmosphère. Cette proportion décroît après la mort du tissu de 1,14 % en 100 ans. 1. Déterminer les pourcentages de la proportion initiale de carbone 14 contenu dans le tissu au bout de 1 000 ans, 2 000 ans et 10 000 ans. 2. Exprimer le pourcentage de la proportion initiale de carbone 14 contenu dans le tissu au bout de années. 3. Un fossile ne contient plus que 10 % de ce qu’il devait contenir en carbone 14. Donner une estimation de son âge. Exercice 26 – Problème « Le premier jour du mois, je gagnai 2 centimes ; le deuxième jour du mois, je gagnai 4 centimes ; le troisième jour du mois, je gagnai 8 centimes ; etc … : en doublant d’un jour à l’autre. A la fin du mois, j’avais gagné environ un milliard de centimes ! C’était vers la fin des années soixante … » En quelle année était-ce ? Exercice 27 – Rémunération dans une entreprise Une entreprise, propose pour recruter un nouvel employé deux types de rémunération : Type 1 : Salaire initial de 1 200 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 100 €. Type 2 : Salaire initial de 1 100 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 8%. 1°) Dans le cas de la rémunération de type 1, on note u(0) le salaire mensuel initial, et u(n) le salaire mensuel après n années. Donner les valeurs de u(0), u(1), u(2). 2°) Dans le cas de la rémunération de type 2, on note v(0) le salaire mensuel initial, et v(n) le salaire mensuel après n années. Donner les valeurs de v(0), v(1), v(2). 3°) Donner une expression générale de u(n) et v(n) en fonction de n. Calculer u(5) et v(5) ; u(8) et v(8). 4°) Le nouvel employé compte rester 10 ans dans l’entreprise. Quelle est la rémunération la plus avantageuse ? Exercice 28 – Population d’un village Un village avait 3123 habitants en 1995. Le nombre d’habitants diminue de 12% tous les ans. On note P(n) le nombre d’habitants du village pour l’année n. 1°) Donner les valeurs de P(1995) et P(1996). (on arrondira à l’entier le plus proche) 2°) Justifier que la suite P(n) est une suite géométrique et donner sa raison. 3°) Calculer P(2001). (on arrondira à l’entier le plus proche) 4°) En quelle année le nombre d’habitants aura-t-il diminué des deux tiers par rapport à 1995 ? 5°) Représenter graphiquement la suite P(n) pour n variant de 1995 à 2005. Exercice 29 – Suite géométrique On considère v(n) une suite géométrique de raison q. 1°) Justifier que v(3) = v(2) x q et que v(4) = v(3) x q En déduire que v(4) = v(2) x q2 2°) Montrer que v(8) = v(5) x q3 3°) Quelle relation peut-on écrire entre v(7) , v(2) et q ? Justifier. 4°) On suppose dans cette question que v(0) = 3 et q = 2. Calculer v(5) . Donner sans démonstration la valeur de v(100) . Exercice 30 – Capital et suites numériques Un capital de 12 618 euros est placé le 01/01/2000 avec un taux d’intérêt annuel de 6,3%. Tous les ans les intérêts sont cumulés au capital. On note C(0) le capital correspondant au 1er janvier de l’année 2000. On a donc C(0) = 12 618. On note, pour tout entier n, C(n) le capital correspondant au 1er janvier de l’année 2000+n. 1°) Calculer C(1), C(2), C(3). (on arrondira les résultats au centime d’euro près) 2°) Démontrer que pour tout entier n on a C(n+1) = C(n) x 1,063. 3°) Compléter le tableau suivant (on arrondira les résultats au centime d’euro près) Rang n de l’année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Capital C(n) 12 618 4°) Représenter graphiquement la suite C(n). Exercice 31 – Calcul du premier terme d’une suite arithmétique Soit une suite arithmétique et de raison et telle que . Calculer la valeur du premier terme . Exercice 32 – Une suite récurrente qui est arithmétique On considère la suite définie par . 1. Calculer 2. Justifier que la suite est une suite arithmétique dont on précisera la raison. 3. Que vaut ? Exercice 33 – Calcul d’une somme On considère la suite définie par . 1. Calculer 2. La suite est-elle arithmétique ? Si oui, préciser la raison. 3. Que vaut ? 4. Calculer la somme . Exercice 34 – Suite arithmétique et somme de termes On considère définie par . 1. Calculer 2. Démontrer que est une suite arithmétique dont on précisera la raison. 3. Que vaut ? Calculer . Exercice 35 – Suites arithmétiques et problème Le triodule est une mauvaise herbe: il produit une seule graine pendant sa première année de croissance qu’il envoie assez loin de lui (celle-ci va germer au début de l’année suivante) et il se développe pour occuper la surface de 1m². Les années suivantes, le pieds se contente d’augmenter sa surface de 1m². La premère et unique graine de triodule est arrivée en 1800 et a germé au printemps 1801 sur l’île de Blécarre. Questions: 1/ a) Quelles surface va occuper le pied de triodule à la fin de l’année? b) Que va-t-il se passer en 1802? c) Quelle surface va occuper le vieux pied de triodule à la fin de l’année 1802? 2/ Préparer une feuille de tableur: Dans C2, écrire: =B2+1 ,puis à l’aide de la poignée de recopie, compléter les cellules de la ligne numéro 2. Dans A4, écrire: =A3+1. Dans B4, écrire: =B3+1. Dans C4, écrire: =B3 ,puis recopier cette formule de 40 cellules vers la droite. Enfin, recopier la ligne 4 vers le bas. 3/ Soit An, la surface occupée par tous les pieds de triodule à la fin de l’année 1800+n. On admet que chaque graine produite a développé un pied. a) Donner la valeur de A0, A1 et A2 en insérant une nouvelle colonne dans le tableur. b) Quelle est la surface du premier pied de triodule à la fin de l’année 1800+n? c) Vérifier que l’on a An=1+2+3+….+n. d) Donner en s’aidant de la feuille de calcul la surface occupée par tous les pieds de triodule au bout de 20 ans. e) En quelle année la surface totale des pieds de triodule dépassera-t-elle 500m²? Exercice 36 – Etude de la nature d’une suite Etudier la nature des suites ci-dessous : a) pour tout entier naturel n, . b) pour tout entier naturel n, . Exercice 37 – Suites numériques On note la suite définie par : 1. Calculer 2. Exprimer en fonction de . 3. Exprimer en fonction de . 4. En déduire l’expression de , en fonction de (On ne démontrera pas l’égalité trouvée). 5. Calculer . Corrigé de ces exercices sur les suites numériques 4.7/5 - (8 votes) Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «les suites : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.» au format PDF. Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés. D'autres fiches similaires à les suites : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.. Suites : correction des exercices en première 77 Résoudre une équation à l'aide de suites.Exercice de mathématiques en première S sur les suites numériques. Exercice : Résoudre l’équation : Indication : calculer la somme puis remarquer que si x est solution alors x < 0. Tout d'abord cette somme existe pour . C'est la somme d'une suite géométrique de… Suites : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. 60 Des exercices de maths en terminale S sur les suites numériques. Vous avez également le choix de réfléchir sur les exercices corrigés en terminale S en PDF . Exercice 1 - suites arithmétiques et géométriques 1. Soit la suite arithmétique de raison r=-2 et telle que . a. Calculer .… Devoir commun de maths en première S 56 Devoir commun de maths en première S, ce sujet du devoir en commun pour les élèves en 1ère S dure 3 h et porte sur de nombreux chapitres.Il est destiné aux élèves de première S et aux enseignants du lycée. Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour… Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. 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Suite (mathématiques) — Wikipédia

En mathématiques, une suite[note 1] est une famille d’éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.

Lorsque tous les éléments d’une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble E {\displaystyle E} , cette suite peut être assimilée à une application de N {\displaystyle \mathbb {N} } dans E {\displaystyle E} . On note classiquement une suite ( u n ) n ∈ N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} , ou en abrégé : ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} .

En particulier, on parle de suite « entière », suite « réelle » et suite « complexe », quand E {\displaystyle E} est un sous-ensemble de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , R {\displaystyle \mathbb {R} } et C {\displaystyle \mathbb {C} } , respectivement.

Les suites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d’un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l’analyse (une suite numérique est l’équivalent discret d’une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu’apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, chez Archimède, spécialiste des procédés illimités d’approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d’aires et de volumes, ou en Égypte vers 1700 av. J.-C. et plus récemment au Ier siècle apr. J.-C. dans le procédé d’extraction d’une racine carrée par la méthode de Héron d’Alexandrie :

Pour extraire la racine carrée de A {\displaystyle A} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} A a {\displaystyle A \over a}

En notation moderne, cela définit la suite de nombres ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} telle que

u 0 = a {\displaystyle u_{0}=a} n {\displaystyle n\;} u n + 1 = 1 2 ( u n + A u n ) {\displaystyle u_{n+1}={1 \over 2}\left(u_{n}+{A \over u_{n}}\right)}

On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du XVIIe siècle) avec la méthode des indivisibles (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Roberval). Dans l’Encyclopédie Raisonnée de d’Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence[note 2] :

Suite et série : se dit d’un ordre ou d’une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s’approchant de plus en plus de quelque quantité finie […] on l’appelle suite convergente et si on la continue à l’infini, elle devient égale à cette quantité.

C’est ainsi que l’on voit Bernoulli, Newton, Moivre, Stirling et Wallis, s’intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C’est à Lagrange que l’on doit, semble-t-il, la notation indicielle. L’étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont le but est d’approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié du XXe siècle, le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un second souffle à l’étude des suites en analyse numérique grâce à la méthode des éléments finis. On en retrouve l’usage aussi dans les mathématiques financières.

Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l’étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C’est le cas par exemple d’un grand nombre de suites d’entiers comme la suite de Fibonacci, celle de Lucas ou, plus récemment, celle de Syracuse. Sont aussi particulièrement étudiées les suites de coefficients dans des séries entières ou les suites de nombres découvertes lors de dénombrements.

L’ensemble des suites d’éléments de E {\displaystyle E} indexées par une partie A {\displaystyle A} de N {\displaystyle \mathbb {N} } se note F ( A , E ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\left(A,E\right)} ou E A {\displaystyle E^{A}} .

Soit A {\displaystyle A} une partie de N {\displaystyle \mathbb {N} } . Soit u ∈ E A {\displaystyle u\in E^{A}} une suite d’éléments de E {\displaystyle E} . On note u n {\displaystyle u_{n}} l’image u ( n ) {\displaystyle u(n)} de l’entier n {\displaystyle n} par u {\displaystyle u} .

Ainsi, les images de 0 , 1 , 2 , … , n {\displaystyle 0,1,2,\dots ,n} sont notées u 0 , u 1 , u 2 , … , u n {\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}} .

On dit que u n {\displaystyle u_{n}} est le terme de rang n {\displaystyle n} , ou d’indice n {\displaystyle n} de la suite u {\displaystyle u} .

On note en général la suite u {\displaystyle u} : ( u n ) n ∈ A {\displaystyle (u_{n})_{n\in A}} qui est donc une application.

Lorsque A = N {\displaystyle A=\mathbb {N} } , on note plus simplement la suite : ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} .

Lorsque A = N n := [ 1 , n ] ∩ N = { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle A=\mathbb {N} _{n}:=[1,n]\cap \mathbb {N} =\{1,2,\dots ,n\}} , on peut noter la suite ( u k ) 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle (u_{k})_{1\leq k\leq n}} ou encore ( u 1 , u 2 , … , u n ) {\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})} .

Il ne faut pas confondre la suite u = ( u n ) n ∈ N {\displaystyle u=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} avec l’ensemble des valeurs de la suite { u n ∣ n ∈ N } {\displaystyle \{u_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}} qui est l’image directe de N {\displaystyle \mathbb {N} } par u {\displaystyle u} . Par exemple, considérons la suite ( ( − 1 ) n ) {\displaystyle \left((-1)^{n}\right)} , l’ensemble des valeurs de la suite est { − 1 , 1 } {\displaystyle \{-1,1\}} .

La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls :

( 0 , 0 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle \left(0,0,0,0,\dots \right)}

Plus généralement, si ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} est une suite et que ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N u n = 0 {\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad u_{n}=0} , alors on dit que ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} est une suite « presque nulle », ou « nulle à partir d’un certain rang ».

Pour des raisons de commodité, pour tout élément k {\displaystyle k} de E {\displaystyle E} on peut identifier k {\displaystyle k} et la suite :

( k , k , k , … ) {\displaystyle \left(k,k,k,\dots \right)}

Posons ∀ n ∈ N , u n = 1 n + 1 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,u_{n}={1 \over {n+1}}} ; u = ( u n ) n ∈ N {\displaystyle u=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par :

( 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , ⋯ ) {\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\cdots \right)}

Terme général et récurrence [ modifier | modifier le code ]

Une suite étant une application de A (partie de N {\displaystyle \mathbb {N} } ) dans E, il est intéressant, voire primordial, de connaître l’image de n pour tout n de A. Si u n {\displaystyle u_{n}} est donné comme expression de n et permet un calcul direct du nombre, on dit que l’on connait le terme général de u n {\displaystyle u_{n}} .

Cependant, si A = { n ∈ N ∣ n ≥ n 0 } {\displaystyle A=\{n\in \mathbb {N} \mid n\geq n_{0}\}} , la nature de l’ensemble de départ permet de définir la suite par une relation de récurrence : le terme d’indice n est donné comme fonction de n et des termes d’indices k, k ≤ n. Le principe de définition par récurrence permet d’affirmer qu’il suffit alors de donner u n 0 {\displaystyle u_{n_{0}}} pour en déduire tous les termes (la suite ( u n ) n ≥ n 0 {\displaystyle (u_{n})_{n\geq n_{0}}} est bien définie). En pratique, la détermination de u n {\displaystyle u_{n}} va nécessiter le calcul de tous les termes de u n 0 {\displaystyle u_{n_{0}}} à u n − 1 {\displaystyle u_{n-1}} . En programmation, cette récurrence a donné lieu à la création des fonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d’une suite connaissant sa relation de récurrence.

Exemple La suite ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} u 0 = 1 {\displaystyle u_{0}=1} n, u n + 1 = ( n + 1 ) u n {\displaystyle u_{n+1}=(n+1)u_{n}} u n = n ! {\displaystyle u_{n}=n!}

Somme des termes d’une suite [ modifier | modifier le code ]

Si E {\displaystyle E} est un groupe additif, on note : ∑ n = p q u n {\displaystyle \sum _{n=p}^{q}u_{n}} ou ∑ p ≤ n ≤ q u n {\displaystyle \sum _{p\leq n\leq q}u_{n}} la somme :

u p + u p + 1 + ⋯ + u q . {\displaystyle u_{p}+u_{p+1}+\cdots +u_{q}.}

Exemples de suites [ modifier | modifier le code ]

C’est une suite à valeurs dans un groupe additif, définie par récurrence par : { u n 0 = a ∀ n ≥ n 0 u n + 1 = u n + r {\displaystyle {\begin{cases}u_{n_{0}}=a\\\forall n\geq n_{0}\quad u_{n+1}=u_{n}+r\end{cases}}}

où r {\displaystyle r} est une constante. Son terme général est alors :

u n = a + ( n − n 0 ) r . {\displaystyle u_{n}=a+(n-n_{0})r.}

C’est une suite à valeurs dans un monoïde, définie par récurrence par : { u n 0 = a ∀ n ≥ n 0 , u n + 1 = q u n {\displaystyle {\begin{cases}u_{n_{0}}=a\\\forall n\geq n_{0},\quad u_{n+1}=qu_{n}\end{cases}}}

où q {\displaystyle q} est une constante. Son terme général est alors :

u n = a q n − n 0 . {\displaystyle u_{n}=aq^{n-n_{0}}.}

C’est une suite à valeurs dans un corps commutatif[note 3], définie par récurrence par : { u n 0 = U ∀ n ≥ n 0 , u n + 1 = a u n + b . {\displaystyle {\begin{cases}u_{n_{0}}=U\\\forall n\geq n_{0},\quad u_{n+1}=au_{n}+b.\end{cases}}}

Si a = 1 {\displaystyle a=1} arithmétique.

arithmétique. Si a ≠ 1 {\displaystyle a

eq 1} [ note 4 ] , son terme général est alors :

u n = b 1 − a + a n − n 0 ( U − b 1 − a ) . {\displaystyle u_{n}={\frac {b}{1-a}}+a^{n-n_{0}}\left(U-{\frac {b}{1-a}}\right).}

Suites récurrentes linéaires à coefficients constants [ modifier | modifier le code ]

Une suite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :

u n + p = a 0 u n + a 1 u n + 1 + ⋯ + a p − 1 u n + p − 1 {\displaystyle u_{n+p}=a_{0}u_{n}+a_{1}u_{n+1}+\cdots +a_{p-1}u_{n+p-1}}

où a 0 {\displaystyle a_{0}} , a 1 {\displaystyle a_{1}} , … a p − 1 {\displaystyle a_{p-1}} sont p {\displaystyle p} scalaires ( a 0 ≠ 0 {\displaystyle a_{0}

eq 0} ).

L’entier p est appelé l’ordre de la récurrence. Les suites à récurrence linéaire d’ordre 1 sont les suites géométriques ; une suite récurrente linéaire d’ordre 2 célèbre est la suite de Fibonacci. L’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre p fait appel à la notion d’espace vectoriel et au calcul matriciel, et on dispose de méthodes permettant le calcul du terme général de n’importe quelle suite de ce type.

Quelques suites notoires [ modifier | modifier le code ]

C’est dans l’univers des suites d’entiers que l’on trouve les suites les plus célèbres :

la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec le nombre d’or ;

la suite de Conway, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent ;

la suite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si celui-ci est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté de 1 si celui-ci est impair. Les mathématiciens ne sont pas encore, en 2020, capables de la modéliser à l’aide d’une fonction ou encore de déterminer si le nombre 1 y apparaît au moins une fois, peu importe le terme initial.

La définition de limite d’une suite est classique en topologie. La convergence des suites dans R {\displaystyle \mathbb {R} } ou dans C {\displaystyle \mathbb {C} } est un cas particulier de cette définition : elle se formule à l’aide de la distance (sur laquelle la topologie de ces espaces est construite).

Intuitivement, une suite possède une (valeur) limite si ses points se rapprochent toujours plus de cette limite lorsque l’indice augmente indéfiniment.

Définition générale :

Soient E {\displaystyle E} un espace topologique et ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} une suite à valeurs dans E {\displaystyle E} . On dit qu’un élément ℓ {\displaystyle \ell } de E {\displaystyle E} est une limite de la suite ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} si

pour tout ouvert O {\displaystyle O} ℓ {\displaystyle \ell } N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } ∀ n > N u n ∈ O {\displaystyle \forall n>N\quad u_{n}\in O}

Suite réelle convergente

On dit qu’une suite réelle ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} converge vers ℓ {\displaystyle \ell } lorsque pour tout ε ∈ R + ∗ {\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}} , il existe N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } tel que pour tout entier n > N {\displaystyle n>N} :

| u n − ℓ | ≤ ε . {\displaystyle |u_{n}-\ell |\leq \varepsilon .} ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} ℓ {\displaystyle \ell } lim n → + ∞ u n = ℓ {\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=\ell }

Suite complexe convergente

La définition dans ℝ s’applique dans ℂ en remplaçant la valeur absolue par le module.

Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites possibles aux deux limites infinies +∞ et –∞ :

Les propriétés sur les limites :

unicité

opération

complétude

vont dépendre de l’espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l’article « Limite d’une suite ».

Suites réelles et relation d’ordre [ modifier | modifier le code ]

Une suite réelle monotone est une fonction monotone (c’est-à-dire croissante ou décroissante) de ℕ dans ℝ. De même, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu’elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

On démontre qu’une suite réelle ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} est :

croissante si (et seulement si) ∀ n ∈ N u n + 1 ≥ u n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}\geq u_{n}}

si (et seulement si) strictement croissante si (et seulement si) ∀ n ∈ N u n + 1 > u n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}>u_{n}}

si (et seulement si) décroissante si (et seulement si) ∀ n ∈ N u n + 1 ≤ u n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}\leq u_{n}}

si (et seulement si) strictement décroissante si (et seulement si) ∀ n ∈ N u n + 1 < u n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1} 0. {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}-u_{n}=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2>0.}

Critères de monotonie [ modifier | modifier le code ]

Limites de suites monotones [ modifier | modifier le code ]

Suite monotone bornée

D’après le théorème de la limite monotone :

Si une suite réelle ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} est croissante (resp. décroissante) et majorée par M {\displaystyle M} (resp. minorée par m {\displaystyle m} ), alors elle est convergente et lim n → + ∞ u n ≤ M {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}\leq M} (resp. lim n → + ∞ u n ≥ m {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}\geq m} ).

De cette propriété, découle la remarque suivante :

Soient ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} et ( v n ) {\displaystyle (v_{n})} deux suites réelles. Si :

( u n ) {\displaystyle (u_{n})}

( v n ) {\displaystyle (v_{n})}

∃ N ∈ N ∀ n > N u n ≤ v n {\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n>N\quad u_{n}\leq v_{n}}

alors :

( u n ) {\displaystyle (u_{n})} ( v n ) {\displaystyle (v_{n})} lim n → + ∞ u n ≤ lim n → + ∞ v n {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}\leq \lim _{n\to +\infty }v_{n}}

Suite monotone non bornée

Encore d’après le théorème de la limite monotone :

Si une suite réelle ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée), alors elle tend vers + ∞ {\displaystyle +\infty } (resp. − ∞ {\displaystyle -\infty } ).

Deux suites réelles ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} et ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} sont dites adjacentes lorsque :

l’une est croissante ;

l’autre est décroissante ;

la suite ( a n − b n ) {\displaystyle (a_{n}-b_{n})} 0 {\displaystyle 0}

L’intérêt des suites adjacentes est qu’elles permettent d’une part de prouver l’existence d’une limite, d’autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu’on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes :

Si deux suites réelles ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} ℓ {\displaystyle \ell }

De plus, en supposant ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} ∀ n ∈ N a n ≤ a n + 1 ≤ ℓ ≤ b n + 1 ≤ b n . {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\leq a_{n+1}\leq \ell \leq b_{n+1}\leq b_{n}.}

Suites de Cauchy [ modifier | modifier le code ]

Dans ce paragraphe, il s’agit de suites à valeurs dans un espace métrique ( E , d ) {\displaystyle (E,d)} .

Une suite ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} est dite de Cauchy lorsque : ∀ η ∈ R + ∗ ∃ N ∈ N ∀ p ∈ N ∀ q ∈ N ( p ≥ N {\displaystyle \forall \eta \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall p\in \mathbb {N} \quad \forall q\in \mathbb {N} \quad (p\geq N} et q ≥ N ) ⇒ d ( u p , u q ) ≤ η {\displaystyle q\geq N)\Rightarrow d(u_{p},u_{q})\leq \eta } .

On démontre que :

toute suite convergente est de Cauchy ;

toute suite de Cauchy est bornée.

On appelle espace complet un espace où toute suite de Cauchy est convergente.

Soit ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} une suite.

Si σ : N → N {\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } est une fonction strictement croissante (une telle fonction s’appelle une extractrice), on dit que la suite ( u σ ( n ) ) n ∈ N {\displaystyle (u_{\sigma (n)})_{n\in \mathbb {N} }} est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite ( u n ) n ∈ N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} .

Grosso modo, c’est la suite ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} pour laquelle on n’a gardé que certains termes (une infinité quand même).

Ces suites extraites se révèlent intéressantes quand on cherche à déterminer des valeurs d’adhérence.

Suites équivalentes et suites négligeables [ modifier | modifier le code ]

Définition

Soient ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} et ( v n ) {\displaystyle (v_{n})} deux suites réelles. On dit que ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} est négligeable devant ( v n ) {\displaystyle (v_{n})} , et l’on note u n = o ( v n ) {\displaystyle u_{n}=o(v_{n})} , si :

∃ ( ε n ) lim n → ∞ ε n = 0 {\displaystyle \exists ({\varepsilon }_{n})\quad \lim _{n\to \infty }{\varepsilon }_{n}=0} u n = ε n v n {\displaystyle u_{n}=\varepsilon _{n}v_{n}}

Remarque Si v n ≠ 0 {\displaystyle v_{n}

eq 0} u n = o ( v n ) {\displaystyle u_{n}=o(v_{n})} lim n → ∞ u n v n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{u_{n}} \over {v_{n}}}=0}

Exemple

Considérons u n = 1 n 2 {\displaystyle u_{n}={1 \over n^{2}}} et v n = 1 n {\displaystyle v_{n}={1 \over n}} .

Posons ε n = 1 n {\displaystyle {\varepsilon }_{n}={1 \over n}} . On a alors :

u n = ε n v n {\displaystyle u_{n}={\varepsilon }_{n}v_{n}}

lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{1 \over n}=0}

D’où 1 n 2 = o ( 1 n ) {\displaystyle {1 \over n^{2}}=o\left({1 \over n}\right)} et 1 n 2 + 1 n ∼ 1 n {\displaystyle {1 \over n^{2}}+{1 \over n}\sim {1 \over n}} .

Définition

Deux suites réelles ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} et ( v n ) {\displaystyle (v_{n})} sont dites équivalentes si u n − v n = o ( v n ) {\displaystyle u_{n}-v_{n}=o(v_{n})} . On note alors u n ∼ v n {\displaystyle u_{n}\sim v_{n}} .

Remarque Si v n ≠ 0 {\displaystyle v_{n}

eq 0} u n ∼ v n {\displaystyle u_{n}\sim v_{n}} lim n → ∞ u n v n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{u_{n}} \over {v_{n}}}=1}

Notes et références [ modifier | modifier le code ]

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