Top 26 점화식 일반항 구하기 24754 People Liked This Answer

You are looking for information, articles, knowledge about the topic nail salons open on sunday near me 점화식 일반항 구하기 on Google, you do not find the information you need! Here are the best content compiled and compiled by the toplist.prairiehousefreeman.com team, along with other related topics such as: 점화식 일반항 구하기 점화식 특성다항식, 점화식 풀이, 어려운 점화식, 점화식 종류, 점화식 문제, 점화식 공식, 점화식 계산기, 점화식 행렬

a_n₊₁ = a_n + d (d는 상수) 이 등비수열의ff,상수 r 이 공비(공통적인 비율)이다. 이 점화식을 풀면 a_n = rⁿ^–¹ · a₁ 이란 일반항을 얻을 수 있다.

명품개념강의 – 점화식 개념정리편

점화식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

Article author: ko.wikipedia.org
Reviews from users: 39947 Ratings
Top rated: 4.1
Lowest rated: 1
Summary of article content: Articles about 점화식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전 Updating …
Most searched keywords: Whether you are looking for 점화식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전 Updating
Table of Contents:

인접 2항간 점화식[편집]

인접 3항간 점화식[편집]

상수계수의 선형 점화식[편집]

몇몇 간단한 비선형의 경우[편집]

생성함수를 이용한 해법[편집]

같이 보기[편집]

참고[편집]

점화식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

Article author: m.blog.naver.com
Reviews from users: 26279 Ratings
Top rated: 4.1
Lowest rated: 1
Summary of article content: Articles about 수열의 점화식의 기초 해법과 특성방정식 이해하기 : 네이버 블로그 우리는 어떤 복잡한 수열이 주어졌다면, 그것을 점화식으로 나타내어서, 그리고 그러한 점화식을 푸는 방법을 깨우쳐서 그 수열의 일반항을 구해내는 … …
Most searched keywords: Whether you are looking for 수열의 점화식의 기초 해법과 특성방정식 이해하기 : 네이버 블로그 우리는 어떤 복잡한 수열이 주어졌다면, 그것을 점화식으로 나타내어서, 그리고 그러한 점화식을 푸는 방법을 깨우쳐서 그 수열의 일반항을 구해내는 …
Table of Contents:

카테고리 이동

류모찌의 상용로그 [샤대생 일상 & 수학 & 공부]

이 블로그
집합과 수열에 관한 논의
카테고리 글

카테고리

이 블로그
집합과 수열에 관한 논의
카테고리 글

Article author: peeton.tistory.com
Reviews from users: 445 Ratings
Top rated: 3.4
Lowest rated: 1
Summary of article content: Articles about 수열의 여러가지 점화식의 일반항 고등학교 과정의 수열의 점화식들의 일반항 구하는 방법. (5번을 제외하고) 5번은 교육과정에는 포함되지 않지만, 모의고사의 빈칸문제나 4점 문제로 … …
Most searched keywords: Whether you are looking for 수열의 여러가지 점화식의 일반항 고등학교 과정의 수열의 점화식들의 일반항 구하는 방법. (5번을 제외하고) 5번은 교육과정에는 포함되지 않지만, 모의고사의 빈칸문제나 4점 문제로 … 고등학교 과정의 수열의 점화식들의 일반항 구하는 방법. (5번을 제외하고) 5번은 교육과정에는 포함되지 않지만, 모의고사의 빈칸문제나 4점 문제로 등장할 수 있다. 두어번만 반복해보면 이런 점화식들은 쉽게..
Table of Contents:

태그

티스토리툴바

Article author: miho273.tistory.com
Reviews from users: 10828 Ratings
Top rated: 3.5
Lowest rated: 1
Summary of article content: Articles about 일반항과 점화식 — 예지 등비수열과 등차수열 수열에는 일반항과 점화식이라는 개념이 있다. 이전 글을 보았으면 알겠지만 일반항은 수열의 항의 값을 항의 번호로 구하는 … …
Most searched keywords: Whether you are looking for 일반항과 점화식 — 예지 등비수열과 등차수열 수열에는 일반항과 점화식이라는 개념이 있다. 이전 글을 보았으면 알겠지만 일반항은 수열의 항의 값을 항의 번호로 구하는 … < 등비수열과 등차수열 수열에는 일반항과 점화식이라는 개념이 있다. 이전 글을 보았으면 알겠지만 일반항은 수열의 항의 값을 항의 번호로 구하는 일반적인 식이며, 점화식은 구하고자 하는 항의 이전항들로 항..예리한 지혜
Table of Contents:

블로그 메뉴

공지사항

위키백과, 우리 모두의 백과사전

수학에서 점화식(漸化式)은 수열에서 이웃하는 두개의 항 사이에 성립하는 관계를 나타낸 관계식이다. 즉, 수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 의 각 항 a n {\displaystyle a_{n}} 이 함수 f를 이용해서

a n + 1 = f ( a n ) {\displaystyle a_{n+1}=f(a_{n})}

처럼 귀납적으로 정해져 있을 때, 함수 f를 수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 의 점화식이라고 하며, 또한, 수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 은 점화식 f 로 정의된다고 한다.

점화식을 푼다는 것은 귀납적으로 주어진 수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 의 일반항 a n {\displaystyle a_{n}} 을 n 의 명시적인 식으로 나타내는 것을 말한다.

인접 2항간 점화식 [ 편집 ]
수열{a n } 이 점화식에 의해서 정의되고 점화식이 변수가 하나인 함수 f에 의해서

a n+1 = f(a n )

로 나타내지고 있을 때, 이 점화식은 인접 2항간의 점화식이라고 한다.

인접 2항간 선형 점화식 [ 편집 ]
인접 2항간 점화식중 f 가 일차식

a n+1 = p(n) · a n + q(n) (p, q는 n 의 함수)

일 때, 선형이라고 한다.

계수가 모두 상수인 경우 [ 편집 ]
계수 p, q가 상수인 2항간 점화식, 즉,

a n+1 = p · a n + q (p, q는 n 에 관계하지 않는 상수)

라면, 이 점화식은 다음과 같이 해서 등차수열 혹은 등비수열에 귀착되어 일반항 n 의 식으로 명시적으로 기술할 수 있다.：

p = 1 일 때, 점화식은 a n+1 = a n + q 이며, 이것은 등차수열을 나타낸다.

p ≠ 1 일 때, 점화식 a n+1 = p · a n + q 의 특성방정식이라 불리는 x = px + q 의 근을 α 라고 하면, 점화식은

a n+1 – α = p (a n – α)

으로 변형할 수 있다. 이것은 일반항이 b n = a n – α 로 정의되는 수열{b n } 이 공비가 p 인 등비수열이 된다는 뜻이 되며, b n 을 n 의 식으로 쓸 수 있다. 다시, a n = b n + α 이므로, 이것도 n 의 식으로 표현이 가능하다.

예 : 하노이의 탑 [ 편집 ]
유명한 하노이의 탑(Tower of Hanoi) 문제가 있다. n {\displaystyle n} 개의 원판을 이동하는 회수를 수열 a n {\displaystyle a_{n}} 으로 정의하자. n {\displaystyle n} 개의 원판을 이동시키기 위해서는 그 위쪽 n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 원판을 다른 막대로 이동한 후, 맨 아래쪽 원판을 이동하고 다시 n − 1 {\displaystyle n-1} 개의 원판을 이동해야 하므로 다음과 같은 점화식이 성립함을 알 수 있다.

a n = 2 a n − 1 + 1 {\displaystyle a_{n}=2a_{n-1}+1}

선형 점화식이므로 간단하게 일반항이 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 임을 알 수 있다.

등차수열·등비수열의 점화식 [ 편집 ]
등차수열이나 등비수열은 인접 2항간 점화식의 매우 특수한 형태이며, 그 정의에 의해 매우 단순한 점화식을 가진다. 즉,

a n+1 = a n + d (d는 상수)

와 같이 된다. 이 등차수열의 점화식에서 상수 d가 공차(공통적인 차이)이다. 이 점화식을 풀면 일반항의 식은 a n = a 1 + (n – 1)d 이 된다. 마찬가지로

a n+1 = r · a n (r는 상수)

이 등비수열의ff,상수 r 이 공비(공통적인 비율)이다. 이 점화식을 풀면 a n = rn-1 · a 1 이란 일반항을 얻을 수 있다.

계수가 상수가 아닌 경우 [ 편집 ]
이러한 경우 적절한 변형을 통해 해결이 가능한 형태로 변형해주는 작업이 필요하다. 몇몇 특수한 경우에 풀이법이 잘 알려져 있다.

p(n) = 1 인 경우 [ 편집 ]
이 경우 계차수열(인접한 두 항의 차로 이루어진 수열)이 q ( n ) {\displaystyle q(n)} 이라는 일반항을 알고 있는 상태가 된다. 따라서 그 합을 구하면 즉시 일반항을 알 수 있게 된다. 점화식에 1부터 n까지 차례로 대입하여 다음 식들을 구성한다.

a 2 − a 1 = q ( 1 ) {\displaystyle a_{2}-a_{1}=q(1)} a 3 − a 2 = q ( 2 ) {\displaystyle a_{3}-a_{2}=q(2)} ⋮ {\displaystyle \vdots } a n − a n − 1 = q ( n − 1 ) {\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=q(n-1)}

이므로 변변 모두 더하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다.

a n = a 1 + ∑ k = 1 n − 1 q ( k ) {\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}q(k)}

q(n) = 0 인 경우 [ 편집 ]
이 경우 p ( n ) = 1 {\displaystyle p(n)=1} 인 경우와 마찬가지로 점화식에 1부터 n까지 차례로 대입하여 변변 곱하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다.

a n = a 1 ∏ k = 1 n − 1 p ( k ) {\displaystyle a_{n}=a_{1}\prod _{k=1}^{n-1}p(k)}

p(n)만 상수인 경우 [ 편집 ]
a n + 1 = p a n + q ( n ) {\displaystyle a_{n+1}=pa_{n}+q(n)}

점화식이 위와 같은 경우 양변을 p n + 1 {\displaystyle p^{n+1}} 으로 나누면 다음과 같이 식을 바꿀 수 있다.

a n + 1 p n + 1 = a n p n + q ( n ) p n + 1 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{p^{n+1}}}={\frac {a_{n}}{p^{n}}}+{\frac {q(n)}{p^{n+1}}}}

그러면 일반항이 a n p n {\displaystyle {\frac {a_{n}}{p^{n}}}} 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다. 계차수열 q ( n ) p n + 1 {\displaystyle {\frac {q(n)}{p^{n+1}}}} 의 합을 이용하여 일반항을 구한다.

p(n) = (n+1)/n 인 경우 [ 편집 ]
n a n + 1 = ( n + 1 ) a n + q ( n ) {\displaystyle na_{n+1}=(n+1)a_{n}+q(n)}

점화식이 위와 같은 경우 양변을 n ( n + 1 ) {\displaystyle n(n+1)} 으로 나누면 일반항이 a n / n {\displaystyle a_{n}/n} 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다.

p(n) = n 인 경우 [ 편집 ]
a n + 1 = n a n + q ( n ) {\displaystyle a_{n+1}=na_{n}+q(n)}

점화식이 위와 같은 경우 양변을 n ! {\displaystyle n!} 으로 나누면, 일반항이 a n / ( n − 1 ) ! {\displaystyle a_{n}/(n-1)!} 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다.

인접 3항간 점화식 [ 편집 ]
수열 {a n } 이 점화식에 의해서 정해지며, 점화식이 2 변수 함수 f에 의해서

a n+2 = f(a n+1 , a n )

로 표현될 때, 이 점화식은 인접3항간의 점화식이라고 한다.

인접 3항간 선형 점화식 [ 편집 ]
인접 3항간 점화식 중 f 가 일차식

a n + 2 = p ( n ) a n + 1 + q ( n ) a n + r ( n ) {\displaystyle a_{n+2}=p(n)a_{n+1}+q(n)a_{n}+r(n)} p, q, r 은 n 의 함수）

일 경우 선형이라고 한다.

r(n) = 0 이고 계수가 모두 상수인 경우 [ 편집 ]
상수 계수 선형 인접 3항간 점화식이 다음과 같다고 하자.

a n + 2 = p a n + 1 + q a n {\displaystyle a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}} p, q는 n에 무관한 상수）

이 경우, 특성 방정식(characteristic equation) x2 = px + q 의 근을 이용해 풀 수 있다.

즉, 특성 방정식 x 2 = p x + q {\displaystyle x^{2}=px+q} 의 두 해를 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 라고 하면, 일반항이 a n = C 1 α n + C 2 β n {\displaystyle a_{n}=C_{1}\alpha ^{n}+C_{2}\beta ^{n}} 인 수열은 주어진 점화식을 만족하게 된다. 따라서 초항의 값에 따라 미정계수 C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} 를 결정하면 된다.

이차 방정식의 두 해가 중근이 될 경우 일반항을 a n = C 1 α n + C 2 n α n {\displaystyle a_{n}=C_{1}\alpha ^{n}+C_{2}n\alpha ^{n}} 로 두면 마찬가지로 주어진 점화식을 만족하게 된다. 이는 마치 상수계수만을 가진 2계도 선형 제차 미분방정식의 풀이를 연상하게 한다. (본질적으로 동일한 매커니즘이다.)

예 : 피보나치 수열 [ 편집 ]
피보나치 수(Fibonacci numbers)의 경우 초기값 F 1 = 1 , F 2 = 1 {\displaystyle F_{1}=1,F_{2}=1} 과 다음과 같은 선형 인접 3항간 점화식으로 정의되어 있다.

F n = F n − 1 + F n − 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

이차 방정식 x 2 = x + 1 {\displaystyle x^{2}=x+1} 의 두 해는 1 + 5 2 , 1 − 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}} 이므로 초항의 값을 대입하면 다음과 같은 일반항을 얻는다.

F n = 1 5 { ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n } {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}}

계수가 상수가 아닌 경우 [ 편집 ]
계수가 상수가 아닌 경우에는 각각의 점화식에 따라 다양한 기법을 적용해야 한다. 양변을 적절한 수로 나누는 등의 시도를 해 볼 수 있다.

예 : 완전순열 [ 편집 ]
완전순열 혹은 교란순열(Derangement)이라 불리는 수열의 점화식은 다음과 같다.

d n = ( n − 1 ) ( d n − 1 + d n − 2 ) {\displaystyle d_{n}=(n-1)(d_{n-1}+d_{n-2})}

이 식은 다음과 같이 변형된다.

d n − n d n − 1 = − { d n − 1 − ( n − 1 ) d n − 2 } {\displaystyle d_{n}-nd_{n-1}=-\{d_{n-1}-(n-1)d_{n-2}\}}

그러므로 d n − n d n − 1 {\displaystyle d_{n}-nd_{n-1}} 을 새로운 수열 a n {\displaystyle a_{n}} 으로 정의하면, 다음과 같은 점화식이 된다.

a n = − a n − 1 {\displaystyle a_{n}=-a_{n-1}}

a n {\displaystyle a_{n}} 의 일반항은 즉시 나오므로 다음과 같이 인접 3항간 점화식이 인접 2항간 점화식으로 변형된다.

d n = n d n − 1 + ( − 1 ) n {\displaystyle d_{n}=nd_{n-1}+(-1)^{n}}

이 경우 위에서 다룬 인접 2항간 점화식에서 p(n) = n인 꼴이 된다. 양변을 n ! {\displaystyle n!} 으로 나누면, 일반항이 d n / ( n − 1 ) ! {\displaystyle d_{n}/(n-1)!} 인 수열의 일반항을 알 수 있고 이로써 d n {\displaystyle d_{n}} 의 일반항도 쉽게 유도된다.

p = – q – 1의 형태인 경우 [ 편집 ]
p = – q – 1인 경우는 특성방정식을 푸는 번거로운 과정없이 쉽게 답을 구할 수 있다. 점화식은 다음과 같이 변형된다.

a n + 2 − a n + 1 = − q ( a n + 1 − a n ) {\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}=-q(a_{n+1}-a_{n})}

그러므로 그 계차수열이 공비가 – q 인 등비수열임을 확인할 수 있다. 계차수열의 일반항을 구해 그것으로부터 즉시 a n {\displaystyle a_{n}} 의 일반항을 이끌어낼 수 있다.

상수계수의 선형 점화식 [ 편집 ]
점화식의 계수가 모두 상수인 선형 점화식

a n = c 1 a n − 1 + c 2 a n − 2 + ⋯ + c d a n − d {\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\cdots +c_{d}a_{n-d}}

의 경우 다음과 같은 특성 방정식의 해를 구하여 일반항을 구한다.

x d = c 1 x d − 1 + ⋯ + c d − 1 x 1 + c d {\displaystyle x^{d}=c_{1}x^{d-1}+\cdots +c_{d-1}x^{1}+c_{d}}

선형대수학을 이용한 해법 [ 편집 ]
다항 방정식을 이용한 풀이법도 있지만 선형대수학을 이용할 수도 있다. 다음과 같이 수열의 초기항을 고유기저(eigenbasis)로 표현했다고 하자.
[ a 0 ⋮ a d − 1 ] = b 1 v 1 + ⋯ + b d v d {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\\vdots \\a_{d-1}\end{bmatrix}}=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{d}v_{d}}

이 경우 조르당 표준형(Jordan normal form)을 이용하여 일반항을 구할 수 있다.
[ a n ⋮ a n + ( d − 1 ) ] = C n [ a 0 ⋮ a d − 1 ] = C n ( b 1 v 1 + ⋯ + b d v d ) = λ 1 n b 1 v 1 + ⋯ + λ d n b d v d {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{n}\\\vdots \\a_{n+(d-1)}\end{bmatrix}}=C^{n}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\vdots \\a_{d-1}\end{bmatrix}}=C^{n}(b_{1}v_{1}+\cdots +b_{d}v_{d})=\lambda _{1}^{n}b_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{d}^{n}b_{d}v_{d}}

만약 행렬이 대각화(diagonalizable)되지 않으면 해법은 좀 더 복잡하게 된다.

예 : 피보나치 수의 선형대수학을 이용한 해법 [ 편집 ]
피보나치 수의 점화식을 행렬로 표현하면 다음과 같이 된다.
[ F n + 1 F n ] = [ 1 1 1 0 ] [ F n F n − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{bmatrix}}}

그러므로 일반항은 다음과 같이 된다.
[ F n + 1 F n ] = [ 1 1 1 0 ] n − 1 [ F 2 F 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n-1}{\begin{bmatrix}F_{2}\\F_{1}\end{bmatrix}}}

이 행렬은 다음과 같이 대각화 된다. 특성방정식의 x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-1=0} 의 두 해를 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 라고 두면, 이 두 값이 고윳값이므로
[ 1 1 1 0 ] = [ α β 1 1 ] [ α 0 0 β ] [ α β 1 1 ] − 1 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&\beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\1&1\end{bmatrix}}^{-1}}

그러므로 일반항은 다음과 같이 정리되며 다항방정식을 이용한 풀이와 동일한 일반항을 얻을 수 있다.
[ F n + 1 F n ] = [ 1 1 1 0 ] n − 1 [ F 2 F 1 ] = [ α β 1 1 ] [ α n − 1 0 0 β n − 1 ] [ α β 1 1 ] − 1 [ F 2 F 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n-1}{\begin{bmatrix}F_{2}\\F_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha ^{n-1}&0\\0&\beta ^{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}F_{2}\\F_{1}\end{bmatrix}}}

Z 변환을 이용한 해법 [ 편집 ]
Z 변환 페이지 참조.

수열의 합을 포함하는 경우 [ 편집 ]
점화식 내에 그 수열의 합이 들어있는 경우, 적절한 변형을 하여 인접한 몇 개의 항을 포함하는 점화식으로 바꾸어 준다. 예를 들어,

a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n = f ( n ) a n {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=f(n)a_{n}}

점화식이 위와 같이 주어진 경우, 다음과 같이 인접 2항간의 점화식으로 변형한다.

f ( n − 1 ) a n − 1 + a n = f ( n ) a n {\displaystyle f(n-1)a_{n-1}+a_{n}=f(n)a_{n}}

수열 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 의 n {\displaystyle n} 째 항까지의 총합이 S n {\displaystyle S_{n}} 인 경우, S n − S n − 1 = a n {\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}} 임을 활용하여 인접 2항간의 점화식으로 변형가능한 것도 있다.

몇몇 간단한 비선형의 경우 [ 편집 ]
비선형의 경우 일반적인 풀이법은 없다. 그러나 몇몇 간단하게 해결되는 경우가 알려져 있다.

예1 : 역수에 주목 [ 편집 ]
p a n a n + 1 = q a n − r a n + 1 {\displaystyle pa_{n}a_{n+1}=qa_{n}-ra_{n+1}}

점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변을 a n a n + 1 {\displaystyle a_{n}a_{n+1}} 으로 나누면 수열 {1/ a n {\displaystyle a_{n}} }이 선형 점화식이 됨을 알 수 있다. 이 선형 점화식의 일반항을 구하여 해결한다.

예2 : 로그를 취하여 해결가능한 경우 [ 편집 ]
a n + 1 = 4 a n 2 {\displaystyle a_{n+1}=4a_{n}^{2}}

점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 log 2 ⁡ a n + 1 = 2 log 2 ⁡ a n + 2 {\displaystyle \log _{2}a_{n+1}=2\log _{2}a_{n}+2} 와 같이 변형되어 수열 { log ⁡ a n } {\displaystyle \{\log a_{n}\}} 이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 따라서 선형 점화식을 풀면 쉽게 해결할 수 있다.

예3 : 점화식의 역수를 취해 해결가능한 경우 [ 편집 ]
a n + 1 = 2 a n a n + 2 {\displaystyle a_{n+1}={\frac {2a_{n}}{a_{n}+2}}}

점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변의 역수를 취하면 수열 {1/ a n {\displaystyle a_{n}} }이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 이 점화식을 풀면 쉽게 일반항을 구할 수 있다.

예4 : 십진법에 기초한 점화식 [ 편집 ]
십진법에 기초하여 정의된 수열의 경우 쉽게 일반항을 구할 수 있는 경우가 있다. 예를 들어, 4가 이전의 항에서 하나씩 늘어가는 방법으로 정의된 수열이 있다고 하자. 즉,

4, 44, 444, 4444, 44444, …..

이 경우 일반항은 다음과 같다.

4 9 ( 10 n − 1 ) {\displaystyle {\frac {4}{9}}(10^{n}-1)}

기수법이 다른 경우도 마찬가지 방법을 쓸 수 있다.

예5 : 주기형의 경우 [ 편집 ]
a n + 1 = − 1 a n + 1 , a n ≠ − 1 {\displaystyle a_{n+1}=-{\frac {1}{a_{n}+1}},\;a_{n}

eq -1}

점화식이 위와 같이 주어진 경우, n에 대한 식으로 표현하기 어렵다. 그러나 몇몇 값을 대입해보면 이 수열은 주기적으로 같은 값이 반복됨을 알 수 있다. 즉, a , − 1 a + 1 , − a + 1 a {\displaystyle a,-{\frac {1}{a+1}},-{\frac {a+1}{a}}} 이 세 수가 반복되어 나타난다.

생성함수를 이용한 해법 [ 편집 ]
생성함수(generating function)를 이용하여 수열의 일반항을 찾는 것이 가능한 경우가 있다.

예 1 [ 편집 ]
a 1 = 0 {\displaystyle a_{1}=0} 이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.

a n + 1 = 2 a n + 1 {\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}+1}

이 수열을 계수로 갖는 다항식 A ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n x n {\displaystyle A(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}} 은 다음 등식을 만족해야 한다.

A ( x ) x = 2 A ( x ) + ∑ n = 1 ∞ x n = 2 A ( x ) + x 1 − x {\displaystyle {\frac {A(x)}{x}}=2A(x)+\sum _{n=1}^{\infty }x^{n}=2A(x)+{\frac {x}{1-x}}}

그러므로 A ( x ) {\displaystyle A(x)} 를 구할 수 있고 이를 다시 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다.

A ( x ) = x 2 ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) = x ( 1 1 − 2 x − 1 1 − x ) = ∑ ( 2 n − 1 − 1 ) x n {\displaystyle A(x)={\frac {x^{2}}{(1-x)(1-2x)}}={x}\left({\frac {1}{1-2x}}-{\frac {1}{1-x}}\right)=\sum (2^{n-1}-1)x^{n}}

예 2 [ 편집 ]
a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} 이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.

a n + 1 = 2 a n + n {\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}+n}

그런데 d d x ∑ x n = ∑ n x n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sum x^{n}=\sum nx^{n-1}} 이라는 사실을 이용하여 ∑ n x n − 1 = d d x 1 1 − x = 1 ( 1 − x ) 2 {\displaystyle \sum nx^{n-1}={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}} 임을 알 수 있으므로, 이 수열을 계수로 갖는 다항식 A ( x ) {\displaystyle A(x)} 은 다음 등식을 만족해야 함을 알 수 있다.

A ( x ) − 1 x = 2 A ( x ) + x ( 1 − x ) 2 {\displaystyle {\frac {A(x)-1}{x}}=2A(x)+{\frac {x}{(1-x)^{2}}}}

마찬가지로 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다.

A ( x ) = 1 − 2 x + 2 x 2 ( 1 − x ) 2 ( 1 − 2 x ) = − 1 ( 1 − x ) 2 + 2 1 − 2 x = ∑ ( 2 n + 1 − n − 1 ) x n {\displaystyle A(x)={\frac {1-2x+2x^{2}}{(1-x)^{2}(1-2x)}}={\frac {-1}{(1-x)^{2}}}+{\frac {2}{1-2x}}=\sum (2^{n+1}-n-1)x^{n}}

예 3 : 피보나치 수열의 생성함수를 이용한 해법 [ 편집 ]
n {\displaystyle n} 번째 피보나치 수를 계수로 갖는 다항식 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 는 정의에 의해 다음을 만족해야 함을 즉시 알 수 있다.

F ( x ) − x x = F ( x ) + x F ( x ) {\displaystyle {\frac {F(x)-x}{x}}=F(x)+xF(x)}

그러므로 다음을 얻는다.

F ( x ) = x 1 − x − x 2 {\displaystyle F(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}

방정식 1 − x − x 2 = 0 {\displaystyle 1-x-x^{2}=0} 의 두 근을 r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} 라고 하면 다음과 같이 부분분수로 분해된다.

F ( x ) = 1 r 1 − r 2 ( 1 1 − x r 1 − 1 1 − x r 2 ) {\displaystyle F(x)={\frac {1}{r_{1}-r_{2}}}\left({\frac {1}{1-xr_{1}}}-{\frac {1}{1-xr_{2}}}\right)}

이것을 무한급수로 표현하면 일반항을 얻을 수 있다.

같이 보기 [ 편집 ]

수열의 점화식의 기초 해법과 특성방정식 이해하기

먼저 첫 번째 방법으로 표현된 일반항은 n의 값을 아는 순간 바로 n번째 항의 값을 알 수 있습니다. 이것이 흔히 우리가 등비수열과 관련된 문제를 풀 때 사용하는 식이죠.

문제는 두 번째 방법으로 표현된 일반항인데, 얘는 사실 n번째 항의 값을 구하려면 n-1번째 항의 값을 알아야 합니다. 그렇다면 n-1번째 항의 값을 알려면 또 n-2번째 항의 값을 알아야 합니다. 그렇게 쭉쭉쭉 나가다 보면, 첫 번째 항의 값을 알고 있다면 이로부터 두 번째 항의 값을, 그리고 세 번째, 네 번째, 그렇게 알아 나갈 수 있다는 것이죠.

점화식이 바로 두 번째 방법으로 표현된 식입니다. 즉 n 번째 항을 n-1 번째 항에 대해서 나타낸 것이죠. 물론 n-2, n-3 번째 항을 이용해도 좋고, n 번째 이하의 모든 항을 이용해도 상관없습니다. 이게 점화식입니다.

초기조건 제시에 관해서도 보충 설명을 조금 할게요.

등비수열의 점화식의 경우 첫째 항만 제시해 준다면 두 번째 항부터 모두 정의가 가능합니다. 그래서 이럴 때 초기조건은 첫째 항만 제시해 주면 됩니다.

그런데, 다음과 같은 수열의 경우(흔히 피보나치수열이라 부르죠!)

일반항과 점화식

반응형

수열에는 일반항과 점화식이라는 개념이 있다. 이전 글을 보았으면 알겠지만 일반항은 수열의 항의 값을 항의 번호로 구하는 일반적인 식이며, 점화식은 구하고자 하는 항의 이전항들로 항의 값을 구하는 식이다. 그 글에서는 일반항과 점화식에 대해 자세히 알아본다.

등차수열과 등비수열의 일반항과 점화식

한 줄로 정리하자면 다음과 같다. ($a$: 일반항, $n$: 항의 번호, $d$: 공차, $r$: 공비)

일반항 점화식 등차수열 $S_n=a+(n-1)d$ $S_n=S_{n-1}+d$ 등비수열 $S_n=ar^{n-1}$ $S_n=rS_{n-1}$

이미 이전 글에서 유도에 대해 설명했지만 이번에는 그냥 규칙을 찾는 것이 아니라 수학적으로 접근해보겠다. 점화식은 수열의 정의에서 당연하게 유도되므로 일반항을 구하는 방법만 알아보겠다.

등차수열의 점화식에서 일반항 유도

$\left|\begin{matrix}S_1=a+d\quad\;\\S_2=S_1+d\quad\\S_3=S_2+d\quad\\S_4=S_3+d\quad\\\vdots\\S_n=S_{n-1}+d\end{matrix}\right.$

위의 수열 $S$는 공차가 $d$인 등비수열의 각 항을 나열한 것이다. 이제 위 식의 좌변, 우변을 각각 모두 더해보면 다음과 같은 식이 나온다.

$S_1+S_2+S_3+S_4+\cdots+S_n$$=a+S_1+S_2+S_3+\cdots+S_{n-1}$$+(n-1)d$

$S_1+S_2+S_3+\cdots+S_{n-1}$이 양변에 공통적으로 있으니 소거시킬 수 있다. 그러면 다음과 같은 식이 나온다.

$S_n=a+(n-1)d$

그렇게 나온 이 식이 바로 일반항이다.

등비수열의 일반항 유도

등비수열도 등차수열과 크게 다르지 않게 유도를 할 수 있다.

$\left|\begin{matrix}S_1=a\qquad\\S_2=S_1r\quad\\S_3=S_2r\quad\\S_4=S_3r\quad\\\vdots\\S_n=S_{n-1}r\end{matrix}\right.$

이제 좌변, 우변을 각각 곱해주면 다음과 같은 식이 나온다.

$S_1 S_2 S_3 S_4 \cdots S_n$$=a(S_1S_2S_3S_4\cdots S_{n-1})r^{n-1}$

양변이 모두 $S_1S_2S_3S_4\cdots S_{n-1}$을 가지고 있으므로 나누어주면 아래와 같은 식이 되며 이 식이 일반항이다.

$S_n=ar^{n-1}$

점화식에서 일반항 구하기

이번 파트에서 다루고자 하는 궁극적인 목표는 점화식이 $S_n=aS_{n-1}+b$꼴인 수열의 일반항을 구하는 것이다.

설명을 쉽게 하기 위해 예제를 가지고 와보자.

저승은 망자를 생전의 업에 따라 환생을 시킬 수도 있고 지옥에서 영원한 형벌을 받도록 할 수도 있다. 점점 저승에서 형벌을 받는 망자가 증가하자 저승은 지옥의 넓이를 넓일 필요를 느끼고 다음 규칙을 만족하도록 지옥의 넓이를 넓일 예정이다. 2000년 후 지옥의 넓이는?

이번 년을 1년이라 할 때 $n$년의 지옥의 넓이를 $(3S_n-150) \rm{km^2}$이라고 한다. 이때 수열 $S$는 $S_n=3S_{n-1}-100$ 단 $n \geq 2$, $S_1=1500$를 만족한다.

문제를 풀어보자.

우선 지옥의 넓이 앞에 뭔가 상수가 붙어있지만 이건 중요한 게 아니니 일단은 $S_n$에 초점을 맞추어보자.

$S_n$의 점화식이 $S_n=3S_{n-1}-100$이므로 이 점화식으로부터 일반항을 구하야 2000번째 항을 구할 수 있을 것이다(점화식을 2000번 계산해서 항을 구할 수도 있겠지만 이건 출제자의 의도가 아니다).

—여기부터 중요하다—

1단계, 위 점화식을 $S_n+\alpha=(S_{n-1}+\alpha)r$처럼 생기게 변형해보자. $S_n=rS_{n-1}+\alpha(r-1)$$=3S_{n-1}-100$ 이 식에서 $r, \alpha$의 값을 구하면 될 것이다. 이 식은 항등식이므로 계수를 비교해주면 $r=3$, $r$을 대입해주면 $\alpha(3-1)=-100$ 따라서 $\alpha=-50$이다.

그러므로 주어진 점화식 $\left\{S_n=3S_{n-1}-100\right\}$$\;\rightarrow\;$$\left\{S_n-50=3(S_{n-1}-50)\right\}$으로 변형할 수 있다.

2단계, $S_n-50=a_n$이라고 하여 새로운 수열 $a_n$을 만들어보자. 이 수열을 1단계에서 구한 식에 대입하여 $a_n=3a_{n-1}$라는 등비수열을 만들 수 있다.

3단계, 앞서 구한 등비수열의 일반항을 구해보자. 수열 $a$의 첫항 $a_1=S_1-50$$=1500-50=1450$이다. 따라서 첫항과 등비를 이용해 일반항을 구해보면 $a_n=1450\times 3^{n-1}$이다.

4단계, 마지막으로 앞서 구한 일반항에 수열 $S$에 관한 식 $S_n-50=a_n$을 대입하자. 그럼 $S_n-50=1450+3^{n-1}$, $S_n$에 관한 식으로 변형하면 $S_n=1450 \times 3^{n-1}+50$이다.

따라서 수열 $S_n$의 일반항은 $S_n=1450 \times 3^{n-1}+50$이다.

—여기까지 중요하다—

따라서 $S_{2000}=1450 \times 3^{1999}+50$, 지옥의 넓이와 수열 $S$의 관계를 이용해 지옥의 넓이를 구하면 지옥의 넓이는 $(1450 \times 3^{2000})\rm{km^2}$이 된다.

참고로 $S_n+\alpha=r(S_n+\alpha)$처럼 생긴 식을 특성 다항식이라고 한다.

위 문제의 답을 실제로 계산하면 $2.534 \times 10^{960}$정도이다. 이렇게 답이 크거나 복잡해서 계산하기 어려운 경우에는 굳이 계산을 하지 않아도 되고 식의 형태로 답을 써도 된다.

일반화를 통해 이해를 확실히 해보자. 점화식이 $S_n=aS_{n-1}+b$인 수열 $S$의 일반항을 구해보자.

$S_n+\alpha=a(S_{n-1}+\alpha)$와 $S_n=aS_{n-1}+b$이 같은 식이 되도록 $\alpha$의 값을 구하자. 계수 비교를 통해 $\alpha(a-1)=b$이므로 $\alpha=\frac{b}{a-1}$이다.

$\alpha$를 대입하면 $S_n+\frac{b}{a-1}=a(S_{n-1}+\frac{b}{a-1})$.

$P_n=S_n+\alpha$인 수열 $P$를 정의하여 앞서 구한 식에 대입하면$P_n=aP_{n-1}$인 등비수열이 나온다.

이 등비수열의 첫항 $P_1=S_1+\frac{b}{a-1}$이므로 등비수열의 일반항을 $P_n=(S_1+\frac{b}{a-1})a^{n-1}$으로 구할 수 있다.

이제 $P_n$을 $S_n$에 관한 식으로 대입해주면 $S_n+\frac{b}{a-1}=(S_1+\frac{b}{a-1})a^{n-1}$, 마지막으로 이항을 해주면 $S_n=(S_1+\frac{b}{a-1})a^{n-1}-\frac{b}{a-1}$가 되며 이 식이 바로 일반항이다.

반응형

So you have finished reading the 점화식 일반항 구하기 topic article, if you find this article useful, please share it. Thank you very much. See more: 점화식 특성다항식, 점화식 풀이, 어려운 점화식, 점화식 종류, 점화식 문제, 점화식 공식, 점화식 계산기, 점화식 행렬

Top 26 점화식 일반항 구하기 24754 People Liked This Answer

점화식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

수열의 점화식의 기초 해법과 특성방정식 이해하기 : 네이버 블로그

수열의 여러가지 점화식의 일반항

일반항과 점화식 — 예지

점화식 an+1=pan+q꼴 일반항 알고리즘 및 예제

위키백과, 우리 모두의 백과사전

수열의 점화식의 기초 해법과 특성방정식 이해하기

일반항과 점화식

Leave a Comment Cancel reply